Abstract (deu)
Ein bekanntes Resultat in der Theorie kommutativer Banachalgebren besagt, dass zwei lokal kompakte Räume $X$ und $Y$ genau dann homöomorph sind, wenn die $C^*$-Algebren der stetigen Abbildungen $C_0(X)$ und $C_0(Y)$ algebraisch isomorph sind. Es ist unser Ziel, analoge Aussagen auch für Algebren glatter Abbildungen bzw. Colombeaualgebren zu zeigen. Die zugrundeliegenden topologischen Räume werden in diesem Fall endlich-dimensionale glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ sein, die Hausdorff sind und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Wir werden sehen, dass nichttriviale multiplikative lineare Funktionale auf $C^{\infty}(X)$ bzw. $\mathcal{G}(X)$ mit Punkten in $X$ bzw. kompakt getragenen verallgemeinerten Punkten $\widetilde{X}_c$ identifiziert werden können. Zudem werden wir beweisen, dass Algebraisomorphismen $C^{\infty}(X) \rightarrow C^{\infty}(Y)$ bereits durch Diffeomorphismen von $Y$ nach $X$ charakterisiert sind. Letzteres gilt sogar für Mannigfaltigkeiten, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen. Im Zusammenhang mit Colombeau verallgemeinerten Funktionen führt uns diese Fragestellung zu kompakt beschränkten verallgemeinerten Funktionen $\mathcal{G}[Y,X]$, welche die Algebraisomorphismen $\mathcal{G}(X) \rightarrow \mathcal{G}(Y)$ wiederum komplett beschreiben.