Ziele: Die vorliegende Arbeit hat die Analyse eines speziellen astrodynamischen Systems zum Ziel, die des Trojanischen Doppelplaneten. In diesem System sind zwei terrestrische Planeten im Lagrangepunkt L4 eines Gasriesen zu finden. Die wichtigsten Parameter dabei sind der Winkelabstand der Trojaner dm, die Gesamtmasse der beiden Trojaner Mtot = M1 + M2, sowie das Massenverhältnis MR = M1/M2 . Um Untersuchungen der Stabilität des Systems durchzuführen, werden verschiedene Stabilitätsindikatoren eingeführt. Dadurch ist ein Sekundärziel der Masterarbeit definiert, die Entwicklung eines Codes zur Berechnung des Lyapunov-Exponenten für ein N-Körpersystem. Methoden: Die Stabilitätsanalysen der Doppeltrojaner werden hauptsächlich durch Simulationen mittels eines Lie-Reihen N-Körper-Integrators durchgeführt. Dies beinhaltet Untersuchungen einzelner Trajektorien sowie die Berechnung von Stabilitätskarten, auch als Initial-Condition-Plots bezeichnet. Die Untersuchung des Lyapunov-Indikators ist zu einem großen Teil von theoretischer Natur. Dabei werden zwei verschiedene Methoden zur Berechnung erörtert. Die erste Methode baut auf der expliziten Form des N-Körperintegrators, in diesem Fall dem Lie-Reihen-Integrator, auf, während die zweite Methode unabhängig vom N-Körperintegrator ist. Ergebnisse: Es wurde gezeigt, dass die Trojanischen Doppelplaneten einen erstaunlich großen stabilen Parameterbereich aufweisen. Ein Trojanerzwillingssystem, mit jeweils einer Erdmasse im Lagrangepunkt L4 eines Jupiters mit a = 1AU, kann für zumindest hundert Millionen Jahre stabil bleiben. Desweiteren wurde ein Zusammenhang zwischen dem stabilen Winkelabstand der Trojaner und ihrer Gesamtmasse gefunden (dm prop. M_tot^1/3). Eine moderate Abweichung von dieser Beziehung wird durch ein sich änderndes Massenverhältnis (MR) der Doppeltrojaner erklärt. Das System bleibt selbst für extreme Konfigurationen, bei welchen die Gesamtmasse der Trojaner im mehrfachen Jupiterbereich liegt, für längere Zeit stabil. Im Speziellen weisen einige Simulationen von Doppeltrojanern mit einer Gesamtmasse von ca. 4M_Jupiter Stabilitätszeiten von mehr als 2 · 10^4 Jahre auf. Dies entspricht bei 1AU ebensovielen Umläufen der Planeten. Da Exoplanetensysteme oftmals mehr als einen Gasriesen aufweisen, wurde das System auf Einflüsse eines weiteren Gasriesen überprüft. Es zeigt sich, dass hier vor allem Bahnresonanzen destabilisierend wirken. Bei einer Masse von 1M_Jupiter sind jedoch ab einer großen Halbachse von a > 2.5AU des störenden Gasriesen keine nennenswerten Effekte mehr nachweisbar. Ferner wurden bei hochaufgelösten Parameterstudien fraktale Strukturen in den Stabilitätskarten entdeckt. Den größten Einfluss auf die Form der Fraktale hat das Massenverhältnis MR der Doppeltrojaner. Für MR < 1 entstehen keilförmige Unterstrukturen, bei MR > 1 handelt es sich um kuppelförmige Unterstrukturen. Es konnten mit Erfolg Lyapunov-Exponenten für zwei Arten von Problemstellungen, Hamiltonische Systeme und Mappings, berechnet werden. Als Beispiel-Mapping wurde die Standard-Map herangezogen, für welche dadurch zwischen chaotischen und stabilen Anfangsbedingungen unterschieden werden konnte. Im Falle von Hamiltonischen Systemen war es zusätzlich möglich, über Histogramme des lokalen Lyapunov-Indikators, Rückschlüsse über die Stabilität des Systems zu ziehen. Studien des Henon-Heiles-Systems dienten dabei als Vorbereitung für das komplexere allgemeine N-Körperproblem. Die erfolgreiche Anwendung auf ein N-Körpersystem wurde anhand der Doppeltrojaner demonstriert.

Aims: In this master’s thesis a special astrodynamical system will be studied, the Trojan twin planets. It consists of two terrestrial planets located around the Lagrangian point L4 of a gas-giant. The crucial parameters characterizing this system are the angular separation dm, the total mass of the Trojans M_tot = M1 + M2 as well as the Trojan’s mass-ratio MR = M1/M2. In order to study the system’s stability, different stability indicators are introduced. This defines a second goal of the thesis which consists of developing a code capable of calculating the Lyapunov indicator for a n-body system. Means: The method of studying the stability of the Trojan twin planets consists primarily of simulations to solve the equations of motion of the n-body problem. A Lie-series n-body integrator is used to perform these calculations as well as to conduct parameter studies. This includes both the analysis of individual trajectories and the calculation of stability maps which are also called initial condition plots. There are two possible ways of calculating the Lyapunov indicators. The first approach considers the explicit form of the nbody integrator which in this case is the Lie-series integrator while the second approach is independent of the n-body integrator. Results: It was found that the Trojan twin planets have an astonishingly broad range of stable parameters. Consider Trojan twins with masses around M_Earth located in the Lagrangian point L4 of a host planet with a semi-major axis of 1AU. It turns out that such a system can be stable for more than hundred million years. The stable angular distance is proportional to the cubic root of the total mass of the Trojans (dm prop. M_tot^13). A slight deviation from this relation is explained by different mass-ratios (MR) of the twins. Increasing the mass up to several Jupiter masses the system can remain stable for more than 2 · 10^4 years. This duration corresponds to the same number of periods of the planets motion around the host star. Since planetary systems are often inhabited by more than one gas-giant, the Trojan twin planets stability with a perturbing gas-giant added is analyzed. The results show that mean motion resonances play a major role in the stability of the Trojan twin planets. No significant destabilizing effects are observed for an additional gas-giant of mass M_Jupiter and with a semi-major axis of a > 2.5AU. High resolution studies of the stability border in the initial condition plot revealed fractal structures. It turns out that the mass-ratio of the Trojan twins has the biggest influence on the form of the structures. The initial condition plot for MR > 1 includes spike-like structures whereas MR < 1 leads to wing-like structures. It was possible to calculate Lyapunov indicators for two different problem types (Hamiltonian systems and mappings). The mapping-approach was successfully applied to the standard map where it was possible to distinguish between stable and chaotic behavior. In the case of Hamiltonian systems it was shown that the local Lyapunov histograms provide information about the system’s stability. Studies on the Henon-Heiles system were used as a test-case for the more complex general n-body Hamiltonian. The successful application of the Hamiltonian-approach was demonstrated on the Trojan twin planets.