Diese Arbeit diskutiert die Verwendung eines sogenannten "Cutting-and-Stacking"- Prozess von bestimmten Abbildungen, die Rang-1 besitzen. Im Laufe der Kapitel, behandeln wir die wichtigsten ergodischen Eigenschaften solcher Abbildungen und gehen speziell auf die Konstruktion dieser ein. Den Beginn machten die zwei Mathematiker R. V. Chacon, 1969 und S. Kakutani, 1972, als sie unabhängig von einander die explizite Darstellung von Rang-1 Transformationen entwickelten. Ziel war es, eigenschaften wie Mischung an solchen Abbildungen nachzuweisen. Chacon beweiste mit seiner Konstruktion die Existenz von schwach mischenden Rang-1 Abbildungen und etwas später in 1998 gelang es T. M. Adams zu beweisen, dass sogenannte (Rang-1-) Stufentransformationen stark mischend sind. In Kapitel 1, wiederholen wir einige wichtige Konzepte der Ergodentheorie und liefern die ersten beiden Beispiele des "Cutting-and-Stacking"-Prozesses. In Kapitel 2 definieren wir Bratteli-Diagramme. Es wird sich herausstellen, dass jeder minimale Homeomorphismus, topologisch gesehen, isomorph zu sogenannten Vershik-Abbildungen ist, die auf Bratteli-Diagrammen leben. Kapitel 3 handelt von (eindeutigen) ergodischen, invarianten Maßen auf Bratteli- Diagrammen und gibt Aufschluss über die Anzahl an ergodischen, invarianten Maßen, die ein bestimmtes Bratteli-Diagram besitzt. In Kapitel 4 führen wir schlussendlich die Stufentransformation ein, und beweisen nach dem Text von T. M. Adams, dass diese stark mischend sind.

This paper discusses the use of the Cutting-and-Stacking procedure of certain rank one transformations. Throughout the chapters we establish some important properties of such transformations, starting with basic ergodic properties as invariance and (uniquely) ergodicity and going further with more advanced ones like mixing properties. This whole Theory was kicked-off by R. V. Chacon in 1969 and S. Kakutani in 1972. Both published independently an explicit construction of rank one transformations which, in case of Chacon, is in fact weakly mixing. For the construction of a strongly mixing rank one transformation, T. M. Adams proved in 1998 an assumtion by M. Smorodinsky that every staircase transformation is strongly mixing. In Chapter 1 we recall some basic ergodic theory and already introduce the two main Cutting-and-Stacking constructions of S. Kakutani [16] and R. V. Chacon [10]. We also study some first mixing properties. In Chapter 2 we establish Bratteli diagrams [9], which are a useful tool in the field of Cantor minimal systems. It was shown in [15] that every minimal homeomorphism is topologically conjugate to a Vershik map of an ordered Bratteli diagram. The main theorem (Theorem 2.3.5) in this Chapter will show that result. In Chapter 3 we discuss ergodic invariant measures on Bratteli diagrams. We will give an answer to the question of the number of ergodic invariant measures for a given Bratteli diagram. Here we follow mainly a quite recent Paper of J. Kwiatkowski, S. Bezuglyi and O. Karpel [4]. We define the class of exact finite rank Bratteli diagrams which implies finite rank Bratteli diagrams since it adds the requirement of having only towers of positive measure to the definition of finite rank Bratteli diagrams. It will turn out that every exact finite rank Bratteli diagram has a unique ergodic measure. In Chapter 4 we introduce a new type of rank one transformations, the so called Staircase transformations. T. M. Adams had shown in [1] and [2] that this type of transformation is in fact strongly mixing.