Title (eng)
Spaces of functions of variable bandwidth parametrized by piecewise constant functions
Parallel title (deu)
Räume von Funktionen mit variabler Bandbreite mit lokal konstanter Parametrisierung
Author
Mark Jason Celiz
Advisor
Karlheinz Gröchenig
Assessor
Jussi Behrndt
Roza Aceska
Abstract (deu)
Der Begriff der variablen Bandbreite beruht auf der Beobachtung, dass man verschiedenen Abschnitten eines Signals verschiedene Bandbreiten zuordnen kann. Das Problem dabei ist jedoch, dass Bandbreite eine globale Eigenschaft eines Signals ist und daher die Idee einer lokalen Bandbreite das Unschärfeprinzip verletzt. Der Versuch, diesen Begriff zu formalisieren, hat zu mehreren möglichen Definitionen von variabler Bandbreite durch Mathematiker und Ingenieure geführt. In dieser Arbeit benützen wir als Definition von Räumen variabler Bandbreite die spektralen Teilräume eines Sturm-Liouville-Operators auf der reellen Achse bezüglich einer geeigneten Parametrisierungsfunktion. Insbesondere untersuchen wir solche Räume, die einer stückweise konstanten Parametrisierungsfunktion zugeordnet sind. Im Gegensatz zu beliebigen Parametrisierungsfunktionen erhält man für stückweise konstante Funktionen explizite Formeln für die Fundamentallösungen des entsprechenden Sturm-Liouville-Problems. Daraus lässt sich das Spektralmaß des Operators ableiten, was im Prinzip eine direkte Auswertung des reproduzierenden Kerns der spektralen Teilräume erlaubt. Im weiteren wird gezeigt, wie der reproduzierende Kern im Fall von zwei und drei konstanten Komponenten der Parametrisierungsfunktion berechnet wird. Danach werden notwendige Dichtebedingungen für Abtast- und Interpolationsmengen und die Rekonstruktion von Funktionen variabler Bandbreite abgeleitet. Die Theorie wird durch numerische Simulationen bestätigt. Die Rekonstruktionsalgorithmen basieren auf Frame-Theorie und Regularisierung (da die direkten Algorithmen Stabilitätsprobleme haben). Insbesondere werden Funktionen variabler Bandbreite innerhalb dieses Models viel besser approximiert als durch klassische bandbegrenzte Funktionen.
Abstract (eng)
The notion of variable bandwidth stems from the observation that it makes sense in time-frequency analysis to assign different local bandwidths to different segments of a signal. However, the problem in defining such a concept lies in the fact that bandwidth is a global property of a signal, and hence the idea of local bandwidth violates the uncertainty principle. In an attempt to formalize this concept, several definitions of variable bandwidth were presented by a number of mathematicians and engineers. In this thesis, we adopt the definition of spaces of functions of variable bandwidth as spectral subspaces of a Sturm-Liouville operator on the real line associated to a chosen bandwidth-parametrizing function. In particular, we study such spaces associated to piecewise constant parametrizing functions. As opposed to arbitrary parametrizing functions, with piecewise constant functions we obtain an explicit formula for the fundamental set of solutions of the corresponding Sturm-Liouville eigenvalue problem. From this the spectral measure of the operator can be derived, which in principle allows a direct evaluation of the reproducing kernel of spectral subspaces. Furthermore, the computation of the reproducing kernel is demonstrated in the case when the parametrizing function has two and three constant components. Afterwards, necessary density conditions for sets of sampling and interpolation and the reconstruction of functions of variable bandwidth are derived. The theory is confirmed by numerical simulations. The reconstruction algorithms are based on frame theory and regularization (since direct algorithms have stability problems). Notably, functions of variable bandwidth are much better approximated within this model than by classical bandlimited functions.
Keywords (deu)
Bandbegrenzte FunktionSturm-Liouville-OperatorenSpektraltheorieRegularisierungsmethodenspektrale Teilräume
Keywords (eng)
Bandlimited functionsSturm-Liouville operatorsspectral theoryregularization methodsspectral subspaces
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
167 Seiten : Illustrationen
Number of pages
167
Study plan
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
[UA]
[796]
[605]
[405]
Association (deu)
Title (eng)
Spaces of functions of variable bandwidth parametrized by piecewise constant functions
Parallel title (deu)
Räume von Funktionen mit variabler Bandbreite mit lokal konstanter Parametrisierung
Author
Mark Jason Celiz
Abstract (deu)
Der Begriff der variablen Bandbreite beruht auf der Beobachtung, dass man verschiedenen Abschnitten eines Signals verschiedene Bandbreiten zuordnen kann. Das Problem dabei ist jedoch, dass Bandbreite eine globale Eigenschaft eines Signals ist und daher die Idee einer lokalen Bandbreite das Unschärfeprinzip verletzt. Der Versuch, diesen Begriff zu formalisieren, hat zu mehreren möglichen Definitionen von variabler Bandbreite durch Mathematiker und Ingenieure geführt. In dieser Arbeit benützen wir als Definition von Räumen variabler Bandbreite die spektralen Teilräume eines Sturm-Liouville-Operators auf der reellen Achse bezüglich einer geeigneten Parametrisierungsfunktion. Insbesondere untersuchen wir solche Räume, die einer stückweise konstanten Parametrisierungsfunktion zugeordnet sind. Im Gegensatz zu beliebigen Parametrisierungsfunktionen erhält man für stückweise konstante Funktionen explizite Formeln für die Fundamentallösungen des entsprechenden Sturm-Liouville-Problems. Daraus lässt sich das Spektralmaß des Operators ableiten, was im Prinzip eine direkte Auswertung des reproduzierenden Kerns der spektralen Teilräume erlaubt. Im weiteren wird gezeigt, wie der reproduzierende Kern im Fall von zwei und drei konstanten Komponenten der Parametrisierungsfunktion berechnet wird. Danach werden notwendige Dichtebedingungen für Abtast- und Interpolationsmengen und die Rekonstruktion von Funktionen variabler Bandbreite abgeleitet. Die Theorie wird durch numerische Simulationen bestätigt. Die Rekonstruktionsalgorithmen basieren auf Frame-Theorie und Regularisierung (da die direkten Algorithmen Stabilitätsprobleme haben). Insbesondere werden Funktionen variabler Bandbreite innerhalb dieses Models viel besser approximiert als durch klassische bandbegrenzte Funktionen.
Abstract (eng)
The notion of variable bandwidth stems from the observation that it makes sense in time-frequency analysis to assign different local bandwidths to different segments of a signal. However, the problem in defining such a concept lies in the fact that bandwidth is a global property of a signal, and hence the idea of local bandwidth violates the uncertainty principle. In an attempt to formalize this concept, several definitions of variable bandwidth were presented by a number of mathematicians and engineers. In this thesis, we adopt the definition of spaces of functions of variable bandwidth as spectral subspaces of a Sturm-Liouville operator on the real line associated to a chosen bandwidth-parametrizing function. In particular, we study such spaces associated to piecewise constant parametrizing functions. As opposed to arbitrary parametrizing functions, with piecewise constant functions we obtain an explicit formula for the fundamental set of solutions of the corresponding Sturm-Liouville eigenvalue problem. From this the spectral measure of the operator can be derived, which in principle allows a direct evaluation of the reproducing kernel of spectral subspaces. Furthermore, the computation of the reproducing kernel is demonstrated in the case when the parametrizing function has two and three constant components. Afterwards, necessary density conditions for sets of sampling and interpolation and the reconstruction of functions of variable bandwidth are derived. The theory is confirmed by numerical simulations. The reconstruction algorithms are based on frame theory and regularization (since direct algorithms have stability problems). Notably, functions of variable bandwidth are much better approximated within this model than by classical bandlimited functions.
Keywords (deu)
Bandbegrenzte FunktionSturm-Liouville-OperatorenSpektraltheorieRegularisierungsmethodenspektrale Teilräume
Keywords (eng)
Bandlimited functionsSturm-Liouville operatorsspectral theoryregularization methodsspectral subspaces
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
167
Association (deu)
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