Title (eng)
Stability in continuous logic
Author
Cezar Port
Advisor
Matthias Aschenbrenner
Assessor
Matthias Aschenbrenner
Abstract (deu)
Diese Arbeit präsentiert die Grundlagen der stetigen Modelltheorie, gibt eine Einführung in den Stabilitätsbegriff in der stetigen Logik, und beweist abschließend, dass die Theorie der atomfreien Wahrscheinlichkeitsalgebren ($APA$) $\aleph_0$-stabil ist. Für die Grundlagen verfolgen wir systematisch einen Ansatz über Typenräume. Viele stetige Gegenstücke zu den klassischen Sätzen der diskreten Modelltheorie werden bewiesen. Wir behandeln Themen wie Monstermodell, Definierbarkeit, Algebraizität, konservative Erweiterungen einer Theorie, Back-and-Forth-Systeme, und Quantorenelimination. Wir beweisen ein Lemma, das zeigt, dass Formeln durch unverschachtelte Formeln approximierbar sind. Dies ermöglicht wiederum elementarere Beweise für einige fundamentale Ergebnisse als die in \cite{yaacov2008model} gegebenen. Wir präsentieren drei verschiedene Beweise für den Fundamentalsatz der Stabilitätstheorie, welcher die Äquivalenz zwischen der Stabilität einer Formel $\varphi$ und der Definierbarkeit jedes $\varphi$-Typs besagt. Der erste Beweis ist neu und elementar und verwendet lediglich die Definition des Typbegriffs. Der zweite Beweis ist topologisch, und folgt der Darstellung in \cite{yaacov2014model}. Der dritte Beweis, der mir von Itaï Ben Yaacov übermittelt wurde, ist ein elementarer Ansatz, der auf Eigenschaften von Netzen in einem topologischen Raum basiert. Im letzten Teil der Arbeit geben wir eine Darstellung, mit vollständigen Beweisen, der grundlegenden Eigenschaften der stetigen Theorie der Wahrscheinlichkeitsalgebren $Pr$ wie in \cite{berenstein2023model}, mit kleinen Variationen. Wir liefern einen elementaren Beweis dafür, dass jede Wahrscheinlichkeitsalgebra als die einem Wahrscheinlichkeitsraum assoziierte Wahrscheinlichkeitsalgebra entsteht. Wir beweisen, dass jede Vervollständigung von $Pr$ QE erlaubt, separabel kategorisch ist, und dass jedes Modell von $Pr$ $\aleph_0$-saturiert ist. Dies ist sehr hilfreich für den abschließenden, vollständigen Beweis der $\aleph_0$-Stabilität von $APA$.
Keywords (deu)
ModelltheorieStetige LogikStabilitätstheorieAtomlose WahrscheinlichkeitsräumeAtomlose ZufallsvariablenWahrscheinlichkeitsalgebrenFundamentalsatz der StabilitätStetige Modelltheorie
Keywords (eng)
Continuous Model TheoryContinuous LogicFundamental Theorem of StabilityProbability AlgebrasAtomless Random Variables
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
iii, 106 Seiten
Number of pages
111
Study plan
Masterstudium Mathematik
[UA]
[066]
[821]
Association (deu)
Title (eng)
Stability in continuous logic
Author
Cezar Port
Abstract (deu)
Diese Arbeit präsentiert die Grundlagen der stetigen Modelltheorie, gibt eine Einführung in den Stabilitätsbegriff in der stetigen Logik, und beweist abschließend, dass die Theorie der atomfreien Wahrscheinlichkeitsalgebren ($APA$) $\aleph_0$-stabil ist. Für die Grundlagen verfolgen wir systematisch einen Ansatz über Typenräume. Viele stetige Gegenstücke zu den klassischen Sätzen der diskreten Modelltheorie werden bewiesen. Wir behandeln Themen wie Monstermodell, Definierbarkeit, Algebraizität, konservative Erweiterungen einer Theorie, Back-and-Forth-Systeme, und Quantorenelimination. Wir beweisen ein Lemma, das zeigt, dass Formeln durch unverschachtelte Formeln approximierbar sind. Dies ermöglicht wiederum elementarere Beweise für einige fundamentale Ergebnisse als die in \cite{yaacov2008model} gegebenen. Wir präsentieren drei verschiedene Beweise für den Fundamentalsatz der Stabilitätstheorie, welcher die Äquivalenz zwischen der Stabilität einer Formel $\varphi$ und der Definierbarkeit jedes $\varphi$-Typs besagt. Der erste Beweis ist neu und elementar und verwendet lediglich die Definition des Typbegriffs. Der zweite Beweis ist topologisch, und folgt der Darstellung in \cite{yaacov2014model}. Der dritte Beweis, der mir von Itaï Ben Yaacov übermittelt wurde, ist ein elementarer Ansatz, der auf Eigenschaften von Netzen in einem topologischen Raum basiert. Im letzten Teil der Arbeit geben wir eine Darstellung, mit vollständigen Beweisen, der grundlegenden Eigenschaften der stetigen Theorie der Wahrscheinlichkeitsalgebren $Pr$ wie in \cite{berenstein2023model}, mit kleinen Variationen. Wir liefern einen elementaren Beweis dafür, dass jede Wahrscheinlichkeitsalgebra als die einem Wahrscheinlichkeitsraum assoziierte Wahrscheinlichkeitsalgebra entsteht. Wir beweisen, dass jede Vervollständigung von $Pr$ QE erlaubt, separabel kategorisch ist, und dass jedes Modell von $Pr$ $\aleph_0$-saturiert ist. Dies ist sehr hilfreich für den abschließenden, vollständigen Beweis der $\aleph_0$-Stabilität von $APA$.
Keywords (deu)
ModelltheorieStetige LogikStabilitätstheorieAtomlose WahrscheinlichkeitsräumeAtomlose ZufallsvariablenWahrscheinlichkeitsalgebrenFundamentalsatz der StabilitätStetige Modelltheorie
Keywords (eng)
Continuous Model TheoryContinuous LogicFundamental Theorem of StabilityProbability AlgebrasAtomless Random Variables
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
111
Association (deu)
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