Title (eng)
Distributional methods in general relativity
Parallel title (deu)
Distributionelle Methoden in der Allgemeinen Relativitätstheorie
Author
Steinbauer Roland
Advisor
Michael Grosser
Assessor
Michael Grosser
Helmuth Urbantke
Abstract (deu)
Die vorliegende Arbeit enthält eine detaillierte Studie über die Anwendbarkeit und die Anwendungen distributioneller Methoden---vor allem der von J. F. Colombeau entwickelten Theorie der Algebren verallgemeinerter Fuktionen---in der Allgemeinen
Relativitätstheorie.
Idealisierungen spielen eine herausragende Rolle bei der Modellierung physikalischer Phänomene. Oft machen sie diese erst einer theoretischen Beschreibung zugänglich.
Besonders nützliche Idealisierungen sind z.B. Punktteilchen und Punktladungen. Ihre mathematische Beschreibung führt in natürlicher Weise auf die von L. Schwartz begründete Theorie der Distributionen. Diese ist von Natur aus eine lineare Theorie; das Produkt zweier Distributionen kann im allgemeinen nicht wieder als Distribution aufgefaßt werden. Daher sind Anwendungen
distributioneller Methoden in nichtlinearen physikalischen Theorien enge Grenzen gesetzt.
In dieser Arbeit gehen wir nach einer Zusammenfassung der Theorie der distributionswertigen Schnitte in Vektorbündeln (Kapitel 1) den Grenzen ihrer Anwendbarkeit in der imanent nichtlinearen Allgemeinen Relativitätstheorie nach. Einer Arbeit von Geroch und Traschen folgend, kommen wir im 2. Kapitel zum
Schluß, daß ein mathematisch konsistenter und physikalisch vernünftiger, auf der linearen Distributionentheorie
aufbauender Formalismus die Beschreibung von so interessanten Raumzeiten wie kosmischen Strings und impulsiven Graviationswellen ausschließt.
An diesem Punkt tritt die von J. F. Colombeau in den 1980er Jahren entwickelten Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen auf den Plan. Dieser Zugang
ermöglicht die Konstruktion kommutativer und assoziativer Differentialalgebren, in die der Vektorraum der
Distributionen kanonisch als Teilraum und die Algebra der glatten Funktionen als treue Teilalgebra eingebettet sind. Im Lichte des sogenannten ,,Unmöglichkeitsresultats'' von L. Schwartz vereinigt sie damit die maximal
möglichen Konsistenzeigenschaften in bezug auf klassische Operationen mit allen wünschenswerten
differential-algebraischen Eigenschaften. Obwohl ein wertvolles Werkzeug zur Behandlung
nichtlinearer partieller Differentialgleichungen mit singulären Daten oder Koeffizienten, waren Algebren verallgemeinerter Funktionen aufgrund fehlender Diffeomorphismeninvarianz geometrischen Anwednungen anfänglich nur schwer zugänglich. Dieser Nachteil konnte erst unlängst vollständig ausgeräumt werden. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich nach einer Einführung in die Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen
(Kaptiel 3) ausführlich mit der Konstruktion verallgemeinerter Schnitte in Vektorbündeln (Kapitel 4). Insbesondere konstruieren wir eine Theorie verallgemeinerter Krümmungsgrößen, die auf Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zugeschnitten ist.
Im abschließenden 5. Kapitel beschreiben wir detailliert die distributionelle Geometrie impulsiver Gravitationswellen. Wir behandeln die Geodäten- sowie die geodätische Deviationsgleichung im zuvor entwickelten
Formalismus. Außerdem wird eine mathematisch korrekte Beschreibung des in der physikalischen Literatur verwendeten, unstetigen Koordinatenwechsels für die
Metrik impulsiver Gravitationswellen vorgestellt.
Wir schließen mit einem Ausblick auf erfolgversprechende weitere Forschungsprogramme.
Abstract (eng)
The aim of this work is a detailed study of applicability and applications of distributional concepts and methods---with a special focus on the theory of
algebras of generalized functions---in the theory of general relativity.
Idealizations play a crucial role in modelling physical phenomena: In many cases, they are indispensable for making the latter accessible to a theoretical treatment.
As typical examples, think of point particles and point charges. On describing these idealizations mathematically
one is naturally led to L. Schwartz' theory of distributions. Unfortunately this theory is only linear, a fact that seriously limitates its range of applicability in nonlinear physical theories.
In the present work, after reviewing the theory of distribution valued sections in vector bundles (chapter 1), we investigate its usefulness in the inherently nonlinear theory of general relativity. Following Geroch and Traschen, in chapter 2 we draw the conclusion that a mathematically rigorous and physically sensible framework based upon linear distribution theory excludes
the description of such interesting spacetimes as
cosmic strings and impulsive gravitational waves.
At this stage the theory of algebras of generalized functions as developed by J. F. Colombeau throughout the 1980s enters the field. In this approach one constructs
associative and commutative differential algebras canonically containing the vector space of distributions as a subspace and the algebra of smooth functions as a faithful subalgebra. Hence, according to L. Schwartz' so-called ``impossibility result,'' it combines all favorable differential algebraic properties with a maximum of consistency properties with respect to classical operations. Apart from being a valuable
tool in the analysis of nonlinear partial differential equations involving singular data or coefficients, the usefulness of algebras of generalized functions
for geometric applications in the beginning was seriously restricted due to its lack of diffeomorphism invariance; a flaw that has ultimately been removed only recently. In this work we introduce algebras of generalized functions in chapter 3 and devote the entire chapter 4 to the construction of generalized sections in vector bundles. In particular, we construct a generalized curvature framework well suited to the needs of general relativity.
The final chapter 5 provides a detailed distributional description of the geometry of impulsive gravitational waves. We treat the geodesic as well as the geodesic deviation equation for this class of singular spacetimes in the previously developed generalized setting. Moreover,
we carry out a detailed mathematical analysis of the discontinuous change of coordinates frequently applied
to the impulsive wave metric in physical literature.
We conclude this work with an outlook to promising lines of further research.
Keywords (eng)
algebras of generalized functionsnonlinear distributional geometryimpulsive gravitation waves
Keywords (deu)
Algebren verallgemeinerter Funktionennichtlineare distributionelle Geometrieimpulsive Gravitationswellen
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
126 S.
Number of pages
199
Association (deu)
Title (eng)
Distributional methods in general relativity
Parallel title (deu)
Distributionelle Methoden in der Allgemeinen Relativitätstheorie
Author
Steinbauer Roland
Abstract (deu)
Die vorliegende Arbeit enthält eine detaillierte Studie über die Anwendbarkeit und die Anwendungen distributioneller Methoden---vor allem der von J. F. Colombeau entwickelten Theorie der Algebren verallgemeinerter Fuktionen---in der Allgemeinen
Relativitätstheorie.
Idealisierungen spielen eine herausragende Rolle bei der Modellierung physikalischer Phänomene. Oft machen sie diese erst einer theoretischen Beschreibung zugänglich.
Besonders nützliche Idealisierungen sind z.B. Punktteilchen und Punktladungen. Ihre mathematische Beschreibung führt in natürlicher Weise auf die von L. Schwartz begründete Theorie der Distributionen. Diese ist von Natur aus eine lineare Theorie; das Produkt zweier Distributionen kann im allgemeinen nicht wieder als Distribution aufgefaßt werden. Daher sind Anwendungen
distributioneller Methoden in nichtlinearen physikalischen Theorien enge Grenzen gesetzt.
In dieser Arbeit gehen wir nach einer Zusammenfassung der Theorie der distributionswertigen Schnitte in Vektorbündeln (Kapitel 1) den Grenzen ihrer Anwendbarkeit in der imanent nichtlinearen Allgemeinen Relativitätstheorie nach. Einer Arbeit von Geroch und Traschen folgend, kommen wir im 2. Kapitel zum
Schluß, daß ein mathematisch konsistenter und physikalisch vernünftiger, auf der linearen Distributionentheorie
aufbauender Formalismus die Beschreibung von so interessanten Raumzeiten wie kosmischen Strings und impulsiven Graviationswellen ausschließt.
An diesem Punkt tritt die von J. F. Colombeau in den 1980er Jahren entwickelten Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen auf den Plan. Dieser Zugang
ermöglicht die Konstruktion kommutativer und assoziativer Differentialalgebren, in die der Vektorraum der
Distributionen kanonisch als Teilraum und die Algebra der glatten Funktionen als treue Teilalgebra eingebettet sind. Im Lichte des sogenannten ,,Unmöglichkeitsresultats'' von L. Schwartz vereinigt sie damit die maximal
möglichen Konsistenzeigenschaften in bezug auf klassische Operationen mit allen wünschenswerten
differential-algebraischen Eigenschaften. Obwohl ein wertvolles Werkzeug zur Behandlung
nichtlinearer partieller Differentialgleichungen mit singulären Daten oder Koeffizienten, waren Algebren verallgemeinerter Funktionen aufgrund fehlender Diffeomorphismeninvarianz geometrischen Anwednungen anfänglich nur schwer zugänglich. Dieser Nachteil konnte erst unlängst vollständig ausgeräumt werden. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich nach einer Einführung in die Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen
(Kaptiel 3) ausführlich mit der Konstruktion verallgemeinerter Schnitte in Vektorbündeln (Kapitel 4). Insbesondere konstruieren wir eine Theorie verallgemeinerter Krümmungsgrößen, die auf Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zugeschnitten ist.
Im abschließenden 5. Kapitel beschreiben wir detailliert die distributionelle Geometrie impulsiver Gravitationswellen. Wir behandeln die Geodäten- sowie die geodätische Deviationsgleichung im zuvor entwickelten
Formalismus. Außerdem wird eine mathematisch korrekte Beschreibung des in der physikalischen Literatur verwendeten, unstetigen Koordinatenwechsels für die
Metrik impulsiver Gravitationswellen vorgestellt.
Wir schließen mit einem Ausblick auf erfolgversprechende weitere Forschungsprogramme.
Abstract (eng)
The aim of this work is a detailed study of applicability and applications of distributional concepts and methods---with a special focus on the theory of
algebras of generalized functions---in the theory of general relativity.
Idealizations play a crucial role in modelling physical phenomena: In many cases, they are indispensable for making the latter accessible to a theoretical treatment.
As typical examples, think of point particles and point charges. On describing these idealizations mathematically
one is naturally led to L. Schwartz' theory of distributions. Unfortunately this theory is only linear, a fact that seriously limitates its range of applicability in nonlinear physical theories.
In the present work, after reviewing the theory of distribution valued sections in vector bundles (chapter 1), we investigate its usefulness in the inherently nonlinear theory of general relativity. Following Geroch and Traschen, in chapter 2 we draw the conclusion that a mathematically rigorous and physically sensible framework based upon linear distribution theory excludes
the description of such interesting spacetimes as
cosmic strings and impulsive gravitational waves.
At this stage the theory of algebras of generalized functions as developed by J. F. Colombeau throughout the 1980s enters the field. In this approach one constructs
associative and commutative differential algebras canonically containing the vector space of distributions as a subspace and the algebra of smooth functions as a faithful subalgebra. Hence, according to L. Schwartz' so-called ``impossibility result,'' it combines all favorable differential algebraic properties with a maximum of consistency properties with respect to classical operations. Apart from being a valuable
tool in the analysis of nonlinear partial differential equations involving singular data or coefficients, the usefulness of algebras of generalized functions
for geometric applications in the beginning was seriously restricted due to its lack of diffeomorphism invariance; a flaw that has ultimately been removed only recently. In this work we introduce algebras of generalized functions in chapter 3 and devote the entire chapter 4 to the construction of generalized sections in vector bundles. In particular, we construct a generalized curvature framework well suited to the needs of general relativity.
The final chapter 5 provides a detailed distributional description of the geometry of impulsive gravitational waves. We treat the geodesic as well as the geodesic deviation equation for this class of singular spacetimes in the previously developed generalized setting. Moreover,
we carry out a detailed mathematical analysis of the discontinuous change of coordinates frequently applied
to the impulsive wave metric in physical literature.
We conclude this work with an outlook to promising lines of further research.
Keywords (eng)
algebras of generalized functionsnonlinear distributional geometryimpulsive gravitation waves
Keywords (deu)
Algebren verallgemeinerter Funktionennichtlineare distributionelle Geometrieimpulsive Gravitationswellen
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
199
Association (deu)
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