Title (eng)
The inverse scattering transform and solitons
Parallel title (deu)
Die inverse Streutheorie und Solitonen
Author
Konstantin Dudulec
Advisor
Johann Hejtmanek
Assessor
Johann Hejtmanek
Abstract (deu)
Partielle Differentialgleichungen spielen sowohl in der mathematischen als auch in der theoretischen Physik bei der Modellierung bestimmter Phänomene eine zentrale Rolle. Anders als im linearen Fall, der sich durch die Fourier-Transformation lösen lässt, existiert für den nichtlinearen Fall keine allgemeine Lösungsmethode.
Die inverse Streutheorie [Inverse Scattering Transform] ermöglicht es, bestimmte nichtlineare partielle Differentialgleichungen analytisch zu lösen. Die Anwendung dieser Methode auf eine bestimmte nichtlineare Evolutionsgleichung setzt die Existenz eines linearen Spektralproblems voraus, das sich als nichtlineare Transformation für die entsprechende nichtlineare Gleichung eignet.
1967 konnten Greene, Gardner, Kruskal und Miura [27] zeigen, dass im Falle der Korteweg-de Vries-Gleichung das lineare Spektralproblem aus dem eindimensionalen Streuproblem für den Sturm-Liouville-Operator besteht. Die funktionalanalytischen Arbeiten der berühmten Charkower Schule um Gelfand, Levitan und Marchenko bilden den mathematischen Kern der inversen Streutheorie.
Abstract (eng)
The mathematical theory of wave propagation for various physical phenomena has produced a certain class of nonlinear evolution equations, which can be solved using the Inverse Scattering Transform [IST]. The IST is a very sophisticated mathematical theory which provides an analytical solution, namely the soliton solution, for the initial-value problem for the particular nonlinear wave equation. The most important ones are the Korteweg-de Vries [KdV] equation, the sine-Gordon equation and the nonlinear Schrödinger equation.
In this thesis an overview of the IST is presented by solving the initial-value problem for the KdV equation. For this purpose the mathematical discussion starts with the modified KdV [mKdV] equation, which was the decisive link in the historical development of the IST. Solutions of the mKdV equation are mapped into solutions of the KdV equation using the Miura transformation. This nonlinear transformation reveals an ingenious connection between the soliton solutions of the KdV equation and the classical scattering problem of quantum mechanics.
The next step contains the introduction of the Gelfand-Levitan-Marchenko [GLM] theory, which constitutes the theoretical backbone of the IST. Using the famous GLM integral equation one can solve the initial-value problem for reflectionless potentials and generate the N-soliton solution.
Keywords (eng)
Kortewegde Vries equationsolitonsinverse scattering transform
Keywords (deu)
Kortewegde Vries-GleichungSolitonInverses Streuproblem
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1252457
rdau:P60550 (deu)
57 S. : graph. Darst.
Number of pages
57
Association (deu)
Title (eng)
The inverse scattering transform and solitons
Parallel title (deu)
Die inverse Streutheorie und Solitonen
Author
Konstantin Dudulec
Abstract (deu)
Partielle Differentialgleichungen spielen sowohl in der mathematischen als auch in der theoretischen Physik bei der Modellierung bestimmter Phänomene eine zentrale Rolle. Anders als im linearen Fall, der sich durch die Fourier-Transformation lösen lässt, existiert für den nichtlinearen Fall keine allgemeine Lösungsmethode.
Die inverse Streutheorie [Inverse Scattering Transform] ermöglicht es, bestimmte nichtlineare partielle Differentialgleichungen analytisch zu lösen. Die Anwendung dieser Methode auf eine bestimmte nichtlineare Evolutionsgleichung setzt die Existenz eines linearen Spektralproblems voraus, das sich als nichtlineare Transformation für die entsprechende nichtlineare Gleichung eignet.
1967 konnten Greene, Gardner, Kruskal und Miura [27] zeigen, dass im Falle der Korteweg-de Vries-Gleichung das lineare Spektralproblem aus dem eindimensionalen Streuproblem für den Sturm-Liouville-Operator besteht. Die funktionalanalytischen Arbeiten der berühmten Charkower Schule um Gelfand, Levitan und Marchenko bilden den mathematischen Kern der inversen Streutheorie.
Abstract (eng)
The mathematical theory of wave propagation for various physical phenomena has produced a certain class of nonlinear evolution equations, which can be solved using the Inverse Scattering Transform [IST]. The IST is a very sophisticated mathematical theory which provides an analytical solution, namely the soliton solution, for the initial-value problem for the particular nonlinear wave equation. The most important ones are the Korteweg-de Vries [KdV] equation, the sine-Gordon equation and the nonlinear Schrödinger equation.
In this thesis an overview of the IST is presented by solving the initial-value problem for the KdV equation. For this purpose the mathematical discussion starts with the modified KdV [mKdV] equation, which was the decisive link in the historical development of the IST. Solutions of the mKdV equation are mapped into solutions of the KdV equation using the Miura transformation. This nonlinear transformation reveals an ingenious connection between the soliton solutions of the KdV equation and the classical scattering problem of quantum mechanics.
The next step contains the introduction of the Gelfand-Levitan-Marchenko [GLM] theory, which constitutes the theoretical backbone of the IST. Using the famous GLM integral equation one can solve the initial-value problem for reflectionless potentials and generate the N-soliton solution.
Keywords (eng)
Kortewegde Vries equationsolitonsinverse scattering transform
Keywords (deu)
Kortewegde Vries-GleichungSolitonInverses Streuproblem
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1252458
Number of pages
57
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