Abstract (deu)
In dieser Dissertation untersuchen wir die sogenannte $\mu$-Invariante von Lie Algebren.
F\"ur eine endlich-dimensionale Lie Algebra $\mathfrak{g}$ ist sie die minimale
Dimension eines treuen $\mathfrak{g}$-Moduls. Es ist bereits nicht-trivial zu zeigen,
da\ss\ diese Invariante Werte in den nat\"urlichen Zahlen annimmt, d.h.,
da\ss\ jede endlich-dimensionale Lie Algebra eine endlich-dimensionale treue
Darstellung besitzt. Das wurde urspr\"unglich von Ado und Iwasawa bewiesen, und
ist ein fundamentales Resultat. Es hat eine lange Geschichte.
In dieser Arbeit geht es um eine Verfeinerung des Ado-Iwasawa-Theorems, und
zwar in folgender Hinsicht:\\[1cm]
{\it Sei $\mathfrak{g}$ eine endlich-dimensionale Lie algebra.
Berechne $\mu(\Lg)$ und finde einen treuen Modul dieser Dimension.
Beschreibe die Eigenschaften treuer Moduln minimaler Dimension.
Berechne obere und untere Schranken f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ als Funktion
anderer Invarianten. }\\[1cm]
Im allgemeinen kann man keine explizite Formel f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ erwarten,
insbesondere nicht f\"ur nilpotente Lie Algebren. Die Frage ist daher, ob man
f\"ur reduktive bzw. halbeinfache Lie Algebren $\mu(\mathfrak{g})$ bestimmen kann.
Tats\"achlich gelingt dies f\"ur den Fall da\ss\ $\mathfrak{g}$ abelsch, einfach,
halbeinfach oder reduktiv ist. Der Beweis dazu ist im wesentlichen
kombinatorischer Natur und verwendet klassiche Resultate der Darstellungstheorie
f\"ur reduktive Lie-Algebren.
Allgemeiner untersuchen wir die $\mu$-Invariante auch f\"ur Lie Algebren deren
aufl\"osbares Radikal abelsch ist. Wir betrachten weitere Invarianten, die mit
der $\mu$-Invariante zusammenh\"angen.
Abschliessend werden dazu einige spezielle Familien von solchen Lie Algebren
im Detail betrachtet.