You are here: University of Vienna PHAIDRA Detail o:1257811
Title (eng)
Faithful representations of minimal degree for Lie algebras with an abelian radical
Author
Wolfgang Alexander Moens
Adviser
Dietrich Burde
Assessor
Karel Dekimpe
Assessor
Yurii Neretin
Abstract (deu)
In dieser Dissertation untersuchen wir die sogenannte $\mu$-Invariante von Lie Algebren. F\"ur eine endlich-dimensionale Lie Algebra $\mathfrak{g}$ ist sie die minimale Dimension eines treuen $\mathfrak{g}$-Moduls. Es ist bereits nicht-trivial zu zeigen, da\ss\ diese Invariante Werte in den nat\"urlichen Zahlen annimmt, d.h., da\ss\ jede endlich-dimensionale Lie Algebra eine endlich-dimensionale treue Darstellung besitzt. Das wurde urspr\"unglich von Ado und Iwasawa bewiesen, und ist ein fundamentales Resultat. Es hat eine lange Geschichte. In dieser Arbeit geht es um eine Verfeinerung des Ado-Iwasawa-Theorems, und zwar in folgender Hinsicht:\\[1cm] {\it Sei $\mathfrak{g}$ eine endlich-dimensionale Lie algebra. Berechne $\mu(\Lg)$ und finde einen treuen Modul dieser Dimension. Beschreibe die Eigenschaften treuer Moduln minimaler Dimension. Berechne obere und untere Schranken f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ als Funktion anderer Invarianten. }\\[1cm] Im allgemeinen kann man keine explizite Formel f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ erwarten, insbesondere nicht f\"ur nilpotente Lie Algebren. Die Frage ist daher, ob man f\"ur reduktive bzw. halbeinfache Lie Algebren $\mu(\mathfrak{g})$ bestimmen kann. Tats\"achlich gelingt dies f\"ur den Fall da\ss\ $\mathfrak{g}$ abelsch, einfach, halbeinfach oder reduktiv ist. Der Beweis dazu ist im wesentlichen kombinatorischer Natur und verwendet klassiche Resultate der Darstellungstheorie f\"ur reduktive Lie-Algebren. Allgemeiner untersuchen wir die $\mu$-Invariante auch f\"ur Lie Algebren deren aufl\"osbares Radikal abelsch ist. Wir betrachten weitere Invarianten, die mit der $\mu$-Invariante zusammenh\"angen. Abschliessend werden dazu einige spezielle Familien von solchen Lie Algebren im Detail betrachtet.
Keywords (eng)
RepresentationLie algebraDegreeDimensionMinimalFaithfulRadicalAbelian
Keywords (deu)
DarstellungLie AlgebraGradDimensionMinimalTreuRadikalAbelsch
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1257811
rdau:P60550 (deu)
X, 108 S.
Number of pages
126
Association (deu)
Members (1)
Title (eng)
Faithful representations of minimal degree for Lie algebras with an abelian radical
Author
Wolfgang Alexander Moens
Abstract (deu)
In dieser Dissertation untersuchen wir die sogenannte $\mu$-Invariante von Lie Algebren. F\"ur eine endlich-dimensionale Lie Algebra $\mathfrak{g}$ ist sie die minimale Dimension eines treuen $\mathfrak{g}$-Moduls. Es ist bereits nicht-trivial zu zeigen, da\ss\ diese Invariante Werte in den nat\"urlichen Zahlen annimmt, d.h., da\ss\ jede endlich-dimensionale Lie Algebra eine endlich-dimensionale treue Darstellung besitzt. Das wurde urspr\"unglich von Ado und Iwasawa bewiesen, und ist ein fundamentales Resultat. Es hat eine lange Geschichte. In dieser Arbeit geht es um eine Verfeinerung des Ado-Iwasawa-Theorems, und zwar in folgender Hinsicht:\\[1cm] {\it Sei $\mathfrak{g}$ eine endlich-dimensionale Lie algebra. Berechne $\mu(\Lg)$ und finde einen treuen Modul dieser Dimension. Beschreibe die Eigenschaften treuer Moduln minimaler Dimension. Berechne obere und untere Schranken f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ als Funktion anderer Invarianten. }\\[1cm] Im allgemeinen kann man keine explizite Formel f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ erwarten, insbesondere nicht f\"ur nilpotente Lie Algebren. Die Frage ist daher, ob man f\"ur reduktive bzw. halbeinfache Lie Algebren $\mu(\mathfrak{g})$ bestimmen kann. Tats\"achlich gelingt dies f\"ur den Fall da\ss\ $\mathfrak{g}$ abelsch, einfach, halbeinfach oder reduktiv ist. Der Beweis dazu ist im wesentlichen kombinatorischer Natur und verwendet klassiche Resultate der Darstellungstheorie f\"ur reduktive Lie-Algebren. Allgemeiner untersuchen wir die $\mu$-Invariante auch f\"ur Lie Algebren deren aufl\"osbares Radikal abelsch ist. Wir betrachten weitere Invarianten, die mit der $\mu$-Invariante zusammenh\"angen. Abschliessend werden dazu einige spezielle Familien von solchen Lie Algebren im Detail betrachtet.
Keywords (eng)
RepresentationLie algebraDegreeDimensionMinimalFaithfulRadicalAbelian
Keywords (deu)
DarstellungLie AlgebraGradDimensionMinimalTreuRadikalAbelsch
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1257812
Number of pages
126
Association (deu)