Diese Diplomarbeit behandelt die zeitabhängige Pauligleichung als quantenmechanisches PDE-Modell, welches die zeitabhängige, 'nichtrelativistische' Schrödingergleichung zu einem 'semirelativistischen' Modell verallgemeinert, das den Spin und das Magnetfeld berücksichtigt. Weiters beinhaltet die Pauligleichung den 'Spin-Magnetfeld Kupplungsterm' - bekannt dafür, einige Feinstrukturen im Spektrum zu begründen. In der Modellhierachie der relativistischen Quantenmechanik ist die Pauligleichung eine Approximation erster Ordnung in 1/c des Elektronenanteils der 'vollrelativistischen' Diracgleichung (wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet). Da jeder Ladungstrager in schneller Bewegung ein 'selbstkonsistentes' elektromagnetisches (E-M) Feld erzeugt, muss die Pauligleichung für schnelle Elektronen an PDEs für das E-M Feld gekoppelt werden. Auf vollrelativistischer Ebene ist dies natürlich die Maxwellgleichung. Um das Dirac-Maxwell-System jedoch konsistent in erster Ordnung in 1/c zu approximieren, koppelt man die Pauligleichung an zwei Poissongleichungen (wovon eine vektorwertig ist und die Maxwellgleichungen durch eine elliptische Gleichung mit dem quantenmechanischen Fluss als Quellterm ersetzt). Das daraus resultierende Pauli-Poiswell-System wird im zweiten Teil dieser Arbeit näher betrachtet: Zuerst werden passende numerische Methoden zur Lösung des Systems eingeführt und analysiert - ein 'Leap Frog'-Schema für die Pauligleichung, eine 'pseudo-Fourier'-Methode für die Poissongleichung des elektrischen Potentials und ein 'Relaxations'-Algorithmus für die Poissongleichung des magnetischen Vektorpotentials. Weiters werden Ergebnisse numerischer Simulationen präsentiert, welche das zeitabängige Pauli-Poiswell-System und reduzierte Modelle, wie die magnetische Schrödingergleichung, für verschiedene Startbedingungen behandeln.

This diploma thesis deals with the time-dependent Pauli equation as a PDE-model in quantum mechanics that generalizes the time-dependent 'nonrelativistic' Schrödinger equation to a 'semi-relativistic' model where magnetic field and spin are included. In particular the famous 'spin magnetic field' coupling term that explained some fine structure in spectra is contained in the Pauli equation. In a hierarchy of models of relativistic quantum mechanics, the Pauli equation is an approximation of the electron part of the 'fully relativistic' Dirac equation at first order in 1/c, where c is the speed of light. Since any fast moving charge creates a 'self-consistent' electromagnetic (E-M) field, it is necessary to couple the Pauli equation for fast electrons to PDEs for the E-M field. On a fully relativistic level this is the Maxwell equation, of course. In order to approximate the Dirac-Maxwell system in a consistent 1/c-order approximation we couple the Pauli equation to two Poisson equations, with a vector valued Poisson equation replacing the Maxwell equations by an elliptic equation with the quantum current as source term. The resulting Pauli-Poisswell system is the main topic of the second part of this thesis, where first we present and analyze appropriate numerical methods : a 'Leap Frog scheme' for the Pauli equation, a 'pseudo Fourier method' for the Poisson equation of the electric potential and a 'relaxation scheme' for the Poisson equation of the magnetic vector potential. Finally, we present numerical simulations of the time dependent Pauli-Poiswell system and for reduced models like magnetic Schrödinger equations, for different initial conditions.