In dieser Arbeit werden Matrizen beschränkter linearer Operatoren mit Abklingverhalten der Nebendiagonalen behandelt, das sind Matrizen, deren Einträge mit
dem Abstand zur Diagonale betragsmäßig abfallen.
Es wird untersucht, unter welchen Bedingungen Matrizen mit derartigem Abklingverhalten invers abgeschlossene Teilalgebren der Algebra beschränkter Operatoren sind, das heißt, wann die Inverse einer als Operator invertierbaren Matrix
mit Abklingverhalten wieder ein gleichartiges Abklingverhalten aufweist.
Derartige Fragen wurden bislang nur für gewisse Klassen von Matrizen behandelt (siehe dazu etwa die Arbeiten von Baskakov, Demko, Smith und Moss,
Jaffard, oder Gröchenig und Leinert). In dieser Arbeit wird versucht, systematische Ansätze zur Behandlung des Abklingverhaltens von Matrizen zu geben, und
auch die Invers- Abgeschlossenheit systematisch zu behandeln.
Zwei Konstruktionen werden eingeführt: Einerseits kann das Abklingverhalten von Matrizen mit Hilfe einer Glattheitstheorie von Banachräumen beschrieben
werden, andererseits kann es auch durch die Güte der Approximation durch Bandmatrizen gemessen werden. Beide Konstruktionen liefern in systematischer Weise
Klassen invers abgeschlossener Teilalgebren zu einer gegebenen Banach Algebra von Matrizen, und beide Konstruktionen lassen sich sinnvoll für größere Klassen von
Banach Algebren erklären. Auf die beschriebene Weise werden nicht nur bekannte
Resultate über Matrizen mit Abklingverhalten wiedergewonnen, sondern auch neue
invers-abgeschlossene Algebren von Matrizen mit Abklingverhalten konstruiert.
Der Zusammenhang zwischen beiden Konstruktionen - Abklingverhalten der
Nebendiagonalen durch Approximation beziehungsweise durch Glattheit - wird
wie im Fall der klassischen trigonometrischen Approximation durch Sätze vom
Jackson-BernsteinTyp vermittelt. Dies erlaubt eine konstruktive Beschreibung
von Approximations- bzw. Glattheitsräumen durch Littlewood-Paley-Zerelegungen.
Schließlich wird versucht, die beschriebene Theorie für Matrizen mit Abklingverhalten jenseits der polynomialen Ordnung anzuwenden. Dazu werden Analoga
zu ultradifferenzierbaren Funktionen für Operatoren konstruiert. Auch hier ist
es wieder möglich, die Invers-Abgeschlossenheit der entstehenden Algebren in den
beschränkten Operatoren nachzuweisen, und so etwa das klassische Resultat von
Demko, Smith und Moss auf allgemeinere Formen des Abklingverhaltens auszudehnen.