Differential operators on manifolds

Simon Rössler

doi:10.25365/thesis.13173

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Title (eng)

Differential operators on manifolds

Parallel title (deu)

Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

Parallel title (eng)

Differential operators on manifolds

Author

Simon Rössler

Advisor

Michael Kunzinger

Assessor

Michael Kunzinger

Abstract (deu)

In Kapitel 1 geben wir einen Überblick über Ergebnisse aus Differentialgeometrie, Distributionentheorie, Funktionalanalyis und Maßtheorie. Kapitel 2 ist der algebraischen Definition der PDOs gewidmet. Wir betrachten lokale Operatoren, das Hauptsymbol, elliptische Operatoren und formale Adjungierte. In Kapitel 3 führen wir L2- und Sobolev Schnitt-Räume und analytische Realisierungen ein. Wir beweisen das Sobolev Einbettungs Theorem, die Young Ungleichung, Interpolations Ungleichungen für Sobolevnormen, elliptische Abschätzungen, das elliptische Regularitätstheorem, Weyls Lemma, Rellichs Theorem, die Poincare Ungleichung and schließlich das Spektraltheorem für selbstadjungierte elliptische Operatoren. Wir benutzen das Spektraltheorem um den Funktionalkalkül zu definieren. Abschließend betrachten wir zwei Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen in Kapitel 4.

Abstract (eng)

In chapter 1 we give an overview of results from Differential Geometry, Distribution Theory, Functional Analyis and Measure Theory. Chapter 2 is dedicated to the algebraic definition of PDOs. We consider local operators, the principal symbol, elliptic operators and formal adjoints. In chapter 3 we introduce L2- and Sobolev spaces of sections and analytical realizations. We prove the Sobolev embedding theorem, Young inequality, Interpolation inequalities for Sobolev norms, elliptic estimates, elliptic regularity theorem, Weyl’s Lemma, Rellich’s Theorem, Poincare inequality and finally the Spectral Theorem for selfadjoint elliptic operators. We use the Spectral Theorem to define the Functional Calculus. Finally we consider two applications to partial differential equations in chapter 4.

Keywords (eng)

differential operatorelliptic differential operatorspectral theoryfunctional calculus

Keywords (deu)

Differentialoperatorelliptischer DifferentialoperatorSpektraltheorieFunktionalkalkül

Subject (deu)

Globale Analysis

Subject (deu)

Differentialgeometrie

Subject (deu)

Operatortheorie

Subject (deu)

Partielle Differentialgleichungen