Abstract (deu)
Diese Diplomarbeit behandelt funktionalanalytische Methoden für paraxiale Wellengleichungen vom Schrödinger-typ mit nicht-glatten Koeffizienten.
Wichtigstes Werkzeug ist die Theorie der stark stetigen Evolutionssysteme, welche wiederum auf der Theorie der stark stetigen Operatorhalbgruppen aufbaut. Die Abstimmung der beiden Theorien auf die spezielle Situation nimmt einen großen Teil dieser Arbeit in Anspruch. Um den Einstieg zu erleichtern, werden anfangs einige grundlegende Begriffe aus der Funktionalanalysis und der Distributionentheorie wiederholt. Danach werden Operatorhalbgruppen und Evolutionssysteme besprochen. Bedingungen für die Existenz von Halbgruppen sind wohlbekannt und werden aus der Literatur übernommen. Stattdessen wird die Existenz eines Evolutionssystems im hyperbolischen Fall genau bewiesen, da die Beweistechniken auch im letzten Kapitel relevant sind.
Im letzten Teil dieser Arbeit wird eine spezielle paraxiale Wellengleichung vom obigen Typ besprochen. Dazu wird einleitend ihr Nutzen in der Geophysik angedeutet. Danach werden die Bedingungen für die Existenz eines Evolutionssystems nachgewiesen. Hierfür wird, neben den oben genannten Werkzeugen, noch eine Vielzahl an technischen Resultaten über Sobolevräume benötigt. Die Schwierigkeit liegt bei den niedrigen Regularitätseigenschaften der Koeffizienten. Schließlich gelingt es, die Existenz und Eindeutigkeit einer starken Lösung im entsprechenden Setting zu beweisen.