Räume und Zahlen sind zwei wichtige philosophische Konzepte für die Beschreibung natürlichen
Phänomene. Von Anfang an schien es, dass eine Art von Ä quivalenz (Dualität) zwischen geometrischen
Räumen (also der Geometrie) und Zahlen (also Algebren) existiert.
In der modernen Mathematik kann diese Äquivalenz z.B. mittels der Kategorientheorie ausgedrückt werden. Ein wichtiges Beispiel ist dabei die Dualität zwischen kommutativen C Stern
Algebren und lokal kompakten topologischen Hausdorff Räumen. Neben diesen kommutativen
Algebren gibt es aber auch eine breite Palette von nichtkommutativen Algebren, d.h. Algebren
deren Multiplikation von der Reihenfolge der Faktoren abhängt. Nichtkommutative Geometrie
ist demnach das Studium von topologischen R¨aumen, wobei jeweils eine nichtkommutative
Funktionenalgebra (C Stern-Algebra) das duale Gegenstück bildet.
Es gibt einige physikalische Hinweise auf eine nichtkommutative Struktur der Raumzeit für sehr
kleine Läengenskalen.
Das Ziel meiner Arbeit ist es, ausgehend von einer nichtkommutativer Raumzeit Deformationsquantisierungen
von Funktionenalgebren zu diskutieren. In dieser Hinsicht erscheint eine Deformationsquantisierung
als nichtkommutatives Produkt auf der Algebra der glatten Funktionen
auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Dieses assoziative und nichtkommutative Produkt wird als
Sternprodukt (star product) bezeichnet.
Kontsevich konnte zeigen, dass für jede Mannigfaltigkeit mit einer sogenannten Poisson Struktur
ein Sternprodukt definiert werden kann und konnte eine explizite Formel dafür angeben. Allerdings
ist diese Zuweisung nicht eindeutig möglich, es müssen Äquivalenzklassen von Sternprodukten
betrachtet werden. Eine physikalische Interpretation von Sternprodukten wird im Rahmen
von Poisson Sigmamodelle klar. Poisson Sigmamodelle sind topologische Quantenfeldtheorien
und eine Verallgemeinerung einer großen Klasse von Feldtheorien.
Es deutet sehr vieles darauf hin, dass die Nichtkommutativität von Raum und Zeit wertvolle
Hinweise für die Struktur einer möglichen großen vereinheitlichten Theorie, also einer grand unified
field theory, geben könnte.