Die vorliegende Diplomarbeit gewährt einen Einblick in die Theorie der Kohomologie von Lie Algebren und führt einige Resultate, vorrangig zu halbeinfachen und nilpotenten Lie Algebren und die dafür notwendigen Grundlagen, an. Dazu geben wir zu einer Lie Algebra g und einem g–Modul M zuerst eine explizite Definition des Kokettenkomplexes und des zugehörigen Korandoperators.
Die lange exakte Sequenz der Kohomologiegruppe, die durch eine kurze exakte Sequenz von g–Moduln induziert wird, ist neben der Euler–Poincaré Charakteristik und der Poincaré Dualität eines der ersten Resultate in Kapitel 1. Hierin beschäftigen wir uns auch mit der ersten und zweiten Kohomologiegruppe zu einer Lie Algebra g und deren Interpretation als Klasse von g–Modulerweiterungen resp. abelschen Lie Algebra–Erweiterungen von g. Sie dienen unter anderem dafür, die klassischen Theoreme von Weyl und Levi zu zeigen. Maßgebend für deren Beweis sind aber das erste und zweite Whitehead–Lemma und damit indirekt auch das Whitehead–Theorem, welche wir ebenfalls, unter Einsatz des Casimir–Operators, beweisen werden. Damit verbunden beantworten wir auch folgende Fragen: Für welche Lie Algebren sind sämtliche ersten resp. zweiten Kohomologiegruppen trivial und welche Lie Algebren besitzt für jeden einfachen g–Modul triviale Kohomologie? Hierbei findet die in Kapitel 2 beschriebene Hochschild–Serre–Spektralsequenz ihre erste Anwendung. Sie ist auch bei konkreten Fragestellungen zu den Bettizahlen in Kapitel 5 ein erfolgreiches Werkzeug. Dabei geben wir obere und untere Schranken der Bettizahlen nilpotenter Lie Algebren an, berechnen die Bettizahlen der Heisenberg Lie Algebren und zeigen: b3(g) = 1 für jede einfache Lie Algebra g.
Ein großer Teil dieser Arbeit widmet sich auch der Homologischen Algebra. Es werden alle kategorie–theoretischen Grundlagen angeführt, um die Kohomologie von Lie Algebren axiomatisch in Form eines homologischen Delta-Funktors zu definieren. Anschließend begründen wir anhand des Chevalley–Eilenberg Komplexes die Übereinstimmung der axiomatisch definierten Kohomologie von Lie Algebren mit der in Kapitel 1 explizit definierten.

This thesis provides an insight into the theory of cohomology of Lie algebras and some of the results, primarily for semisimple and nilpotent Lie algebras, with the necessary foundations. For this we give a explicit definition of a cochain complex and the associated differential of a Lie algebra g and a g–module M.
The long exact sequence of cohomology, induced by a short exact sequence of g–modules is, in addition to the Euler–Poincaré characteristic and the Poincaré duality, one of the first results in Chapter 1. Herein, we also deal with the first and second cohomology group of a Lie algebra g and its interpretation as a class of g–module extensions and abelian Lie algebra extensions of g, respectively. They are used, among other things, to show the classical theorems of Weyl and Levi. But the decisive role in their proofs plays the first and second Whitehead lemma and thus, indirectly, the Whitehead theorem, which we also prove using the Casimir–operator. Linked to this we ask the following questions: For which Lie algebras all of the first cohomology groups respectively second cohomology groups are trivial and for which Lie algebras is the cohomology to every simple g–module trivial? Here we use the Hochschild–Serre spectral sequence described in Chapter 2 for the first time to give answers of these questions. It is also a successful tool in concrete questions about the Betti numbers in Chapter 5. There we give upper and lower bounds of the Betti numbers of nilpotent Lie algebras, compute the Betti numbers of the Heisenberg Lie algebras and show: b3(g) = 1 for any simple Lie algebra g.

Much of this work is also dedicated to homological algebra. All category theoretical foundations are presented to define the cohomology of Lie algebras axiomatically in the form of a homological functor. Subsequently we show on the basis of the Chevalley–Eilenberg complex that the axiomatically defined cohomology of Lie algebras is in accordance with the explicitly defined cohomology in Chapter 1.