Das Ziel dieser Diplomarbeit besteht darin, den Zusammenhang zwischen allgemeinen Vandermonde Matrizen und spezifischen Eigenschaften der Fourier Matrix zu beschreiben, wobei letztere als Vandermonde Matrix für die Einheitswurzeln der Ordnung $N$ interpretiert wird. Auf diese Weise kann eine Reihe von wichtigen Eigenschaften der Fourier Matrix in elementarer Weise hergeleitet werden. insbesondere wird gezeigt, dass diese im Wesentlichen nichts als Eigenschaften der komplexen Zahlen sind. Beispielsweise ist die Fourier Matrix (bis auf Normalisierung mit $\sqrt{N}$) eine unitäre Matrix, was aus dem Exponentialgesetz und der Summen Formel für endliche geometrische Reihen folgt. Unter anderem werden in dieser Arbeit grundlegende Eigenschaften komplexer Fourierreihen für periodische Funktionen vorgestellt, es wird auch die punktweise Konvergenz von Fourierreihen charakterisiert. Weiters wird mit Hilfe der Euler Formel und einigen Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen hergeleitet, dass Fourierreihen, die die Dirichletbedingungen erfüllen, mit komplexen Koeffizienten dargestellt werden können. Nicht zuletzt werden einige einfache Eigenschaften der Fouriertransformation, wie z.B. Linearität, die Skalierungseigenschaft, Shift und Modulation eingeführt, wie auch die Formel von Plancherel, die Konvolutionseigenschaft und das Theorem von Shannon. Abschließend werden einige Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Multiplikation großer Zahlen und der Theorie der digitalen Filter gegeben.

It is the purpose of this thesis to emphasize the connection between general Vandermode matrices and the specific properties of the Fourier matrix, which is interpreted as the Vandermonde matrix for the unit roots of order $N$. In doing so a number of interesting properties can be derived in an elementary way, and it can be demonstrated that they are in principle consequences of elementary properties of complex numbers. For example, the Fourier matrix is (up to the normalization factor $\sqrt{N}$) a unitary matrix, which follows from the exponential law combined with the formula for finite geometric series. Thesis provides some basic information about Complex Fourier Series for periodic functions and pointwise convergence of Fourier series.Reviewing Euler formula and properties of "odd and even" functions, Fourier series satisfying Dirichlet's conditions can be expressed with complex number coefficients. Further in the thesis some basic properties such as 'linearity, scaling, shifting and modulation' of Fourier transform is introduced along with Plancherel's formula, Convolution property and Shannon's theorem. At the end of the thesis we provide some small applications using MATLAB to the elementary probability theory, large integer multiplication and digital filtering.