In this thesis, we aim to enhance numerical simulation methods for nanowire sensors by estimating the impact of uncertainties (or noise and fluctuations) in the model. We begin with the formulation of the appropriate model, namely the stochastic Poisson-Boltzmann equation and are thus led to a semi-linear second order elliptic partial differential equation with random input data. We then present two different non-intrusive (i.e. a solver for the deterministic problem can be used) methods for uncertainty quantification: Besides the classical (quasi-)Monte Carlo approach, we also consider a stochastic collocation scheme based on the Smolyak algorithm for tensor product problems. For the implementation we develop a finite element solver for the deterministic problem and outline techniques for the numerical integration of high dimensional functions. The numerical results show a very good agreement between the different approaches and prove the Smolyak sparse grid quadrature to be superior to the classical sampling schemes, at least for a moderate number of dimensions. The methods can be parallelised without further modifications and provide an effective framework to deal with the stochastic linear and nonlinear Poisson-Boltzmann equations. We paid particular attention to the more involved non-linear case and the very different behavior of the solution highlights the importance of addressing the problem in a proper fashion.

Die Arbeit zielt darauf ab, numerische Simulationsmethode für Nanodrahtsensoren zu verbessern, indem der Einfluss von Unsicherheiten (oder Rauschen und Fluktuationen) im Modell bestimmt wird. Wir beginnen mit der Formulierung der stochastischen Poisson-Boltzmann Gleichung und werden dadurch auf eine semilineare, elliptische partielle Differentialgleichung mit stochastischen Daten geführt. Wir präsentieren dann zwei unterschiedliche nicht-eindringende (d.h. ein Löser für das deterministische Problem kann verwendet werden) Verfahren zur Uncertainty quantification: neben dem klassischen (quasi-)Monte Carlo Ansatz betrachten wir auch eine stochastisches Kollokationsmethode, die auf dem Smolyak Algorithmus für Tensorprodukt-Probleme basiert. Für die Implementierung entwickeln wir einen Finite-Elemente Löser für das deterministische Problem und behandeln Techniken zur numerischen Integration hochdimensionaler Funktionen. Die numerischen Resultate weisen eine sehr gute Übereinstimmung auf und zeigen, dass Smolyak dünne Gitter Quadraturverfahren, zumindest in moderaten Dimensionen, den klassischen Samplingverfahren überlegen sind. Die Methoden lassen sich ohne weitere Modifikationen parallelisieren und stellen damit einen effektiven Rahmen dar, um die stochastische lineare und nichtlineare Poisson-Boltzmann Gleichung zu untersuchen. Wir legen besondere Aufmerksamkeit auf den komplexeren nichtlinearen Fall und der große Unterschied im Verhalten der Lösung zeigt, wie wichtige die geeignete Herangehensweise an das Problem ist.