Vorlesungen über die verschiedensten Methoden der Approximationstheorie beinhalten immer das Thema "Interpolation''. Man hört von den unterschiedlichsten Arten der Interpolation, beginnend von der Lagrange-Interpolation über die Newton-Interpolation bis hin zur Interpolation via Splines. Man erfährt von den Vorteilen und ebenso von den Nachteilen der einzelnen interpolierenden Polynome; jedoch wird eine doch recht nette andere Methode der Interpolation, nämlich die Quasi-Interpolation, kaum behandelt. Mittel Quasi-Interpolation erzeugt man eine schöne glatte Kurve, welche alle Eigenschaften der Orginalfunktion beinhaltet, aber leider nicht die gegebenen Daten genau interpoliert. Trifft man eine gute Wahl für das "Atom'' $\varphi$, so ist der Approximationsfehler minimalst. Der Raum, in welchem die Quasi-interpolierenden Funktionen aggieren, ist der Spline-type space, welcher von den Riesz Basen aufgespannt wird. Diese Riesz Basen haben einige besondere Eigenschaften, welche in dieser Diplomarbeit kurz besprochen und behandelt werden. Die Schwierigkeit der Quasi-Interpolation liegt eher darin, dass es leider keine eindeutige Definition des Quasi-interpolant Operators gibt. Viele Mathematiker verwenden den Begriff "Quasi-Interpolation'' in den unterschiedlichsten Zusammenhängen. Diese Diplomarbeit gibt einen kleinen Einblick in die verschiedenen Definitionen und deren theoretischen Aussagen. Zu Ende hin sieht man anhand praktischer Beispiele via MATLAB den Zusammenhang zwischen Interpolation und Quasi-Interpolation. Man erkennt, dass Quasi-Interpolation eine gute Alternative zur Interpolation darstellt.

In many lectures the readers are introduced in the topic of Interpolation Theory. They learn about the characteristics of Lagrange interpolation, the Newton interpolation and spline interpolation. They get a feeling how interpolating polynomials work and what their advantages are. Nevertheless the reader rarely hears about another very useful approximation method, namely the Quasi-interpolation. Quasi-interpolation is a good methodology that allows to obtain from given discrete data (generally regular samples of a continuous function) smooth functions that observe the general behaviour of the underlying continuous function, although these functions do not fit the given data exactly. For the descripton of the quasi-interpolant operator the so-called Spline-type space, respectively a principal shift-invariant space, is quite useful, and the set of translates of some "atom'' $\varphi$ form a Riesz basis for such a space. The master thesis informs the reader about the most important characteristics of these Riesz basic sequences. One difficulty of Quasi-interpolation is the fact, that in the application area of Approximation Theory there does not exist a unique defnition of the quasi-interpolant operator. The different definitions and their qualities are discussed and some theoretical statements are shown and proved. At the end of this master thesis some practical applications via MATLAB experiments demonstrate the correspondence between Interpolation and Quasi-interpolation. The reader sees that Quasi-interpolation is a good alternative to Interpolation.