Title (eng)
A geometric construction of characteristic classes
Parallel title (deu)
Eine geometrische Konstruktion charakteristischer Klassen
Author
Lorenz Leditzky
Advisor
Andreas Kriegl
Assessor
Andreas Kriegl
Abstract (deu)
Wir geben eine geometrische Konstruktion von charakteristischen Klassen an, den Stiefel-Whitney Klassen für reelle Vektorbündel und den Chern Klassen für komplexe Vektorbündel. Dazu betrachten wir das triviale Bündel von Rang n-i+1, ein glattes Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M und einen generischen Vektorbündelhomomorphismus h zwischen ihnen. Die Menge von Punkten, wo h nicht injektiv ist, ist das Bild einer bestimmten Projektion \phi:\tilde{Z}(h)\rightarrow M, wobei \tilde{Z}(h) eine kompakte, K_b-orientierte, differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Wir kombinieren den von \phi in der Homologie induzierten Morphismus mit dem Poincaré Dualitätsisomorphismus und definieren das Bild der Fundamentalklasse von \tilde{Z}(h) unter dieser Zusammensetzung als die i-te charakteristische Klasse von \xi. Dann zeigen wir, dass diese Klassen der axiomatischen Definition von Stiefel-Whitney Klassen und Chern Klassen, die Hirzebruch gegeben hat, genügen; sie sind daher wohldefiniert und eindeutig. Schließlich verallgemeinern wir die Definition auf abzählbare Vektorbündel.
Abstract (eng)
We give a geometric construction of characteristic classes, the Stiefel-Whitney classes for real vector bundles and the Chern classes for complex vector bundles. To achieve this, we consider the trivial bundle of rank n-i+1, a smooth vector bundle over a differentiable manifold M, and a generic vector bundle morphism h between them. The singularity subsets of h are the image of a suitable projection map \phi:\tilde{Z}(h)\rightarrow M, where \tilde{Z}(h) is a compact, K_b-oriented, differentiable manifold. We look at the image of the fundamental class of \tilde{Z}(h) under the composite of the homological map induced by \phi and the Poincaré duality isomorphism and define it as the ith characteristic class of the bundle. We show equality of these classes with the axiomatic definition of the Stiefel-Whitney and Chern classes respectively given by Hirzebruch; hence, they are well-defined and unique. Finally, we generalise the definition to numerable vector bundles.
Keywords (eng)
Characteristic classGrassmann manifoldsGeneric vector bundle homomorphism
Keywords (deu)
Charakteristische KlasseGrassmann-BündelGenerischer Vektorbündelhomomorphismus
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
V, 101 S. : graph. Darst.
Number of pages
117
Association (deu)
Title (eng)
A geometric construction of characteristic classes
Parallel title (deu)
Eine geometrische Konstruktion charakteristischer Klassen
Author
Lorenz Leditzky
Abstract (deu)
Wir geben eine geometrische Konstruktion von charakteristischen Klassen an, den Stiefel-Whitney Klassen für reelle Vektorbündel und den Chern Klassen für komplexe Vektorbündel. Dazu betrachten wir das triviale Bündel von Rang n-i+1, ein glattes Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M und einen generischen Vektorbündelhomomorphismus h zwischen ihnen. Die Menge von Punkten, wo h nicht injektiv ist, ist das Bild einer bestimmten Projektion \phi:\tilde{Z}(h)\rightarrow M, wobei \tilde{Z}(h) eine kompakte, K_b-orientierte, differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Wir kombinieren den von \phi in der Homologie induzierten Morphismus mit dem Poincaré Dualitätsisomorphismus und definieren das Bild der Fundamentalklasse von \tilde{Z}(h) unter dieser Zusammensetzung als die i-te charakteristische Klasse von \xi. Dann zeigen wir, dass diese Klassen der axiomatischen Definition von Stiefel-Whitney Klassen und Chern Klassen, die Hirzebruch gegeben hat, genügen; sie sind daher wohldefiniert und eindeutig. Schließlich verallgemeinern wir die Definition auf abzählbare Vektorbündel.
Abstract (eng)
We give a geometric construction of characteristic classes, the Stiefel-Whitney classes for real vector bundles and the Chern classes for complex vector bundles. To achieve this, we consider the trivial bundle of rank n-i+1, a smooth vector bundle over a differentiable manifold M, and a generic vector bundle morphism h between them. The singularity subsets of h are the image of a suitable projection map \phi:\tilde{Z}(h)\rightarrow M, where \tilde{Z}(h) is a compact, K_b-oriented, differentiable manifold. We look at the image of the fundamental class of \tilde{Z}(h) under the composite of the homological map induced by \phi and the Poincaré duality isomorphism and define it as the ith characteristic class of the bundle. We show equality of these classes with the axiomatic definition of the Stiefel-Whitney and Chern classes respectively given by Hirzebruch; hence, they are well-defined and unique. Finally, we generalise the definition to numerable vector bundles.
Keywords (eng)
Characteristic classGrassmann manifoldsGeneric vector bundle homomorphism
Keywords (deu)
Charakteristische KlasseGrassmann-BündelGenerischer Vektorbündelhomomorphismus
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
117
Association (deu)
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