Diese Doktorarbeit befasst sich mit mathematischen Modelle, welche die Ausbreitung von Wasserwellen unter dem Einfluss von Gravitation beschreiben. Ich untersuche Anwendungen der Euler Gleichungen auf Tsunamiwellen unter Berücksichtigung von Vortizität und präsentiere ein Model, welches den Zustand des Meeres nahe der Küste in Abwesenheit von Wellen beschreibt. Indem ich Methoden dynamischer Systeme anwende, zeige ich Existenz von radialsymmetrischen C^2-Lösungen mit kompaktem Träger für eine Familie von Wirbelverteilungen. Diese entsprechen isolierten Wirbelregionen unter der flachen Wasseroberfläche außerhalb derer sich das Wasser in Ruhe befindet. Weiters untersuche ich eine nichtlineare dispersive Gleichung für Oberflächenwellen von moderater Amplitude, welche als Näherung für die Euler Gleichungen für Flachwasserwellen hergeleitet wurde. Ich zeige die Existenz von solitären Wellen, und präsentiere eine qualitative Beschreibung des Wellenprofils. Indem ich die Bewegungsgleichung in ein Hamiltonsches System transformiere, kann ich beschränkte Orbits im Phasenraum bestimmen, welche solitären und periodischen Oberflächenwellen beliebiger Ausbreitungsgeschwindigkeit entsprechen. Weiters analysiere ich im Detail, wie die Wellenamplitude von der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit abhängt. Diese Methode ist auf eine größere Klasse von nichtlinearen dispersiven Gleichungen (z.B. der Camassa-Holm) anwendbar.

This thesis is concerned with mathematical models for gravity water waves. I discuss applications of the full nonlinear governing equations for water waves with vorticity to tsunami-wave phenomena, and present a model describing the state of the sea in coastal regions in the absence of waves, the so-called background flow field, governed by the Euler equations. Applying methods of dynamical systems, I prove existence of radially symmetric C^2-solutions with compact support for a given family of vorticity distributions. These solutions correspond to isolated regions of non-zero vorticity beneath the flat free surface, outside of which the water is at rest in the absence of waves. Furthermore, I study a nonlinear dispersive equation for surface waves of moderate amplitude in the shallow water regime, which arises as an approximation of the Euler equations. I prove existence of solitary traveling waves, and present a qualitative description of the wave profile, showing that it has a unique maximum and is symmetric with respect to the crest. A generalisation of this result is obtained when one allows that solitary waves decay to an arbitrary constant far out. Expressing the equation as a Hamiltonian system, we explicitly determine bounded orbits in the phase plane, which correspond to solitary and periodic traveling waves of elevation and depression. Moreover, we provide a detailed description of how the wave amplitude changes with speed. This approach is applicable to a wider class of nonlinear dispersive evolution equations, including the well-known Camassa-Holm equation.