Title (eng)
The symmetry of the q,t-Catalan numbers
Parallel title (deu)
Die Symmetrie der q,t-Catalan-Zahlen
Parallel title (eng)
The Symmetry of the q,t-Catalan Numbers
Author
Robin Sulzgruber
Advisor
Christian Krattenthaler
Assessor
Christian Krattenthaler
Abstract (deu)
Wir definieren die $q, t$-Catalan-Zahlen als bivariate erzeugende Polynome zweier Statistiken auf Dyck-Pfaden. Wir besprechen einige ihrer Eigenschaften von einem kombinatorischen Standpunkt aus gesehen, zum Beispiel eine Beschreibung durch weitere Statistiken, eine Rekursion, Spezialisierungen und eine mögliche Verallgemeinerung auf Parkfunktionen. Wir verwenden die Symmetrie der $q, t$-Catalan-Zahlen in den Variablen $q$ und $t$, um die Partitionen von $n$ mit $k$ Diagonalinversionen und bestimmte Klassen von "`langen"' Dyck-Pfaden abzuzählen.
Anschließend beleuchten wir die Rolle, die die $q, t$-Catalan-Zahlen in verwandten Gebieten, wie der Darstellungstheorie von $\mathfrak S_n$ oder der Theorie symmetrischer Funktionen und Macdonald-Polynomen, spielen. Das abschließende Ziel ist, die $q, t$-Catalan-Zahlen als Summe von rationalen Funktionen in $q$ und $t$, die durch Zahlpartitionen indiziert sind, darzustellen. Wir sammeln und motivieren alle zum Beweis dieser Identität beitragenden Resultate und erledigen einen guten Teil der Arbeit im Detail.
Das Ergebnis kann unterschiedlich interpretiert werden. In Abhängigkeit vom Standpunkt zeigt es entweder, dass die $q, t$-Catalan-Zahlen symmetrisch in $q$ und $t$ sind, oder dass die Summe der rationalen Funktionen ein Polynom mit nicht negativen ganzzahligen Koeffizienten ist, also in $\mathbb N[q, t]$ liegt. Außerdem ermöglicht es eine kombinatorische Beschreibung der Hilbertreihe einer bigraduierten Darstellung der symmetrischen Gruppe, die als alternierende Komponente des Raumes der diagonalharmonischen Polynome angesehen werden kann.
Abstract (eng)
We introduce the $q, t$-Catalan numbers as the bivariate generating polynomials of two statistics on Dyck paths. We discuss some of their properties from a combinatorial point of view, e.g. a description by means of different statistics, a recursion, specialisations, and a possible generalisation to parking functions. We then use the fact that the $q, t$-Catalan numbers are symmetric in $q$ and $t$ to count the partitions of $n$ with $k$ diagonal inversions, and certain classes of ``long'' Dyck paths.
We proceed to shed some light on the role the $q, t$-Catalan numbers play in related fields like the representation theory of $\mathfrak S_n$, and the theory of symmetric functions and Macdonald polynomials. The final aim is to present a formula for the $q, t$-Catalan numbers in terms of a sum of rational functions in $q$ and $t$ indexed by integer partitions. We collect and motivate all the results that contribute to the proof of this equality, and do a good deal of the work in detail.
This result can be interpreted in different ways. Depending on the starting point, it is either a proof that the $q, t$-Catalan numbers are symmetric in $q$ and $t$, or that the sum of rational functions is a polynomial with non-negative integer coefficients, i.e., lies in $\mathbb N[q, t]$. Moreover, it provides a combinatorial interpretation for the Hilbert series of a bigraded representation of the symmetric group which can be regarded as the alternating component of the space of diagonal harmonics.
Keywords (eng)
combinatoricsCatalan numbersDyck pathssymmetric polynomials
Keywords (deu)
KombinatorikCatalan-ZahlenDyck-PfadeSymmetrische Polynome
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1304939
rdau:P60550 (deu)
II, 78 S. : Ill.
Number of pages
184
Association (deu)
Title (eng)
The symmetry of the q,t-Catalan numbers
Parallel title (deu)
Die Symmetrie der q,t-Catalan-Zahlen
Parallel title (eng)
The Symmetry of the q,t-Catalan Numbers
Author
Robin Sulzgruber
Abstract (deu)
Wir definieren die $q, t$-Catalan-Zahlen als bivariate erzeugende Polynome zweier Statistiken auf Dyck-Pfaden. Wir besprechen einige ihrer Eigenschaften von einem kombinatorischen Standpunkt aus gesehen, zum Beispiel eine Beschreibung durch weitere Statistiken, eine Rekursion, Spezialisierungen und eine mögliche Verallgemeinerung auf Parkfunktionen. Wir verwenden die Symmetrie der $q, t$-Catalan-Zahlen in den Variablen $q$ und $t$, um die Partitionen von $n$ mit $k$ Diagonalinversionen und bestimmte Klassen von "`langen"' Dyck-Pfaden abzuzählen.
Anschließend beleuchten wir die Rolle, die die $q, t$-Catalan-Zahlen in verwandten Gebieten, wie der Darstellungstheorie von $\mathfrak S_n$ oder der Theorie symmetrischer Funktionen und Macdonald-Polynomen, spielen. Das abschließende Ziel ist, die $q, t$-Catalan-Zahlen als Summe von rationalen Funktionen in $q$ und $t$, die durch Zahlpartitionen indiziert sind, darzustellen. Wir sammeln und motivieren alle zum Beweis dieser Identität beitragenden Resultate und erledigen einen guten Teil der Arbeit im Detail.
Das Ergebnis kann unterschiedlich interpretiert werden. In Abhängigkeit vom Standpunkt zeigt es entweder, dass die $q, t$-Catalan-Zahlen symmetrisch in $q$ und $t$ sind, oder dass die Summe der rationalen Funktionen ein Polynom mit nicht negativen ganzzahligen Koeffizienten ist, also in $\mathbb N[q, t]$ liegt. Außerdem ermöglicht es eine kombinatorische Beschreibung der Hilbertreihe einer bigraduierten Darstellung der symmetrischen Gruppe, die als alternierende Komponente des Raumes der diagonalharmonischen Polynome angesehen werden kann.
Abstract (eng)
We introduce the $q, t$-Catalan numbers as the bivariate generating polynomials of two statistics on Dyck paths. We discuss some of their properties from a combinatorial point of view, e.g. a description by means of different statistics, a recursion, specialisations, and a possible generalisation to parking functions. We then use the fact that the $q, t$-Catalan numbers are symmetric in $q$ and $t$ to count the partitions of $n$ with $k$ diagonal inversions, and certain classes of ``long'' Dyck paths.
We proceed to shed some light on the role the $q, t$-Catalan numbers play in related fields like the representation theory of $\mathfrak S_n$, and the theory of symmetric functions and Macdonald polynomials. The final aim is to present a formula for the $q, t$-Catalan numbers in terms of a sum of rational functions in $q$ and $t$ indexed by integer partitions. We collect and motivate all the results that contribute to the proof of this equality, and do a good deal of the work in detail.
This result can be interpreted in different ways. Depending on the starting point, it is either a proof that the $q, t$-Catalan numbers are symmetric in $q$ and $t$, or that the sum of rational functions is a polynomial with non-negative integer coefficients, i.e., lies in $\mathbb N[q, t]$. Moreover, it provides a combinatorial interpretation for the Hilbert series of a bigraded representation of the symmetric group which can be regarded as the alternating component of the space of diagonal harmonics.
Keywords (eng)
combinatoricsCatalan numbersDyck pathssymmetric polynomials
Keywords (deu)
KombinatorikCatalan-ZahlenDyck-PfadeSymmetrische Polynome
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1304940
Number of pages
184
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