Abstract (deu)
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Frage, wie viel Rechenkraft Quantencomputer bieten können. Diese Frage geht in ihrer allgemeinsten Form weit über die aktuellen Möglichkeiten und Methoden der Komplexitätstheorie hinaus. Dennoch liefert die Komplexitätstheorie Beispiele von Problemen, die sogar für Quantencomputer als nicht effizient lösbar gelten. Andererseits können Quantencomputer vermutlich nicht effizient von klassischen Computern simuliert werden. Wir wollen mit dieser Arbeit zum Verständnis des dazwischen liegenden Bereichs von Problemen, die effizient auf Quantencomputern, aber nicht effizient auf klassischen Computern berechnet werden können, beitragen. Um besseren Einblick in die Fragestellung zu erlagen, entwickeln wir in dieser Dissertation klassische und quantenmechanische Algorithmen zur Lösung von Problemen, die unter einschränkenden Annahmen a priori als nicht effizient lösbar geltende Probleme dennoch effizient lösen. Wir erforschen in diesem Sinne also die Grenzen des auf Quantencomputern und klassischen Computern Machbaren, in dem wir Annahmen identifizieren, die dazu geeignet sind grundsätzlich als schwer geltende Probleme in den Bereich des Machbaren zu bringen. Im Speziellen entwickeln wir einen Quantenalgorithmus, der sogenannte Projective Entangled-Pair States (PEPS) effizient herstellen kann, sobald Injektivität und Wohlkonditierung des PEPS gegeben ist. In einem zweiten Schritt erweitern wir diesen Algorithmus auf sogenannte G-injektive PEPS, einer wesentlich allgemeineren Klasse von Quantenzuständen, die auch die exotische Eigenschaft der topologischen Ordnung besitzen können. Weiters entwickeln wir einen Quantenalgorithmus, der das im Allgemeinen für Quantencomputer als schwer geltende Problem den Grundzustand von lokalen Hamiltonoperatoren zu erzeugen löst, sofern diese die Voraussetzungen des (nicht-konstruktiven) Quanten-Lovász-Local-Lemma erfüllen und die Operatoren kommutieren. Unser Quantenalgorithmus kann in diesem Fall auch als unabhängiger, konstruktiver Beweis des Quanten-Lovász-Local-Lemmas betrachtet werden. Um die Grenze zu klassischen Computern zu erforschen, entwickeln wir einen klassischen Algorithmus, der das sehr allgemeine Problem Quantenschaltkreise zu simulieren unter gewissen Annahmen effizient lösen kann. Wäre es in voller Allgemeinheit lösbar, würden Quantencomputer keinen Vorteil bieten. Unser Algorithmus kann Quantenschaltkreise simulieren, die in ihrer Struktur jener des Quantenalgorithmus von Shor zur Faktorisierung ganzer Zahlen, der als exponentiell schneller als der schnellste bekannte klassische Faktorisierungsalgorithmus gilt, sehr ähnlich sind. Weiters treffen wir die Annahme, dass die erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung annähernd dünn-besetzt ist. Unser Ergebnis impliziert daher, dass die von Algorithmen dieser Struktur erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendigerweise dicht-besetzt sein muss, um einen exponentiellen Geschwindigkeitsvorteil erzielen zu können.