Necessary density conditions for frames on homogeneous groups

Angelika Höfler

doi:10.25365/thesis.31921

You are here: University of Vienna PHAIDRA Detail o:1307160

Title (eng)

Necessary density conditions for frames on homogeneous groups

Parallel title (deu)

Notwendige Dichtebedingungen für Frames auf homogenen Gruppen

Author

Angelika Höfler

Advisor

Karlheinz Gröchenig

Assessor

Margit Pap

Hartmut Führ

Abstract (deu)

Diese Dissertation beschäftigt sich mit notwendigen Dichtebedingungen für Frames und Rieszfolgen, die durch diskrete Teilmengen von homogenen Liegruppen indiziert sind. In Analogie zur Beurlingdichte auf R^n wird ein wohldefinierter Dichtebegriff auf homogenen Liegruppen eingeführt. Unter Verwendung dieser Dichte wird ein Satz zum Vergleich der Dichten von Frames und Rieszfolgen, die durch diskrete Teilmengen von homogenen Liegruppen indiziert sind, präsentiert. Dabei handelt es sich um eine Verallgemeinerung des Dichtesatzes für Gaborframes von Ramanathan und Steger sowie dessen Weiterentwicklung für abstrakte Frames mit `kommutativen Indexmengen' durch Balan, Casazza, Heil und Landau. Dieser Vergleichssatz wird verwendet um notwendige Dichtebedingungen für Abtasten und Interpolation in Shift-invarianten Räumen auf homogenen Gruppen herzuleiten. Dies geschieht mittels eines Zusammenhangs zwischen Abtastmengen und Frames bestehend aus den zugehörigen reproduzierenden Kernen. Weiters werden mithilfe des Vergleichssatzes notwendige Dichtebedingungen für Frames und Rieszfolgen im Orbit projektiver quadrat-integrierbarer Darstellungen von homogenen Gruppen untersucht. Für einige konkrete Beispiele projektiver quadrat-integrierbarer Darstellungen niedrigdimensionaler homogener Gruppen werden Orthonormalbasen im Orbit konstruiert und dadurch explizite Abschätzungen für die Dichte von Frames und Rieszfolgen im Orbit der jeweiligen Darstellung gewonnen.

Abstract (eng)

This thesis is concerned with necessary density conditions for frames and Riesz sequences indexed by discrete subsets of homogeneous groups. We define a density on homogeneous groups in analogy to the Beurling density on R^n , however, adapted to the geometry of homogeneous groups. Employing this density, we present a theorem for the comparison of the densities of frames and Riesz sequences indexed by discrete subsets of homogeneous groups. It is a first non-commutative extension of previous results like the density theorem for irregular Gabor frames of Ramanathan and Steger and its generalization to abstract frames with `commutative index sets' by Balan, Casazza, Heil und Landau. The comparison theorem is used to derive necessary density conditions for sampling and interpolation in shift-invariant spaces on homogeneous groups. This is done via the correspondence of sampling sets and frames of reproducing kernels. Further, necessary density conditions for frames and Riesz sequences in the orbit of projective square-integrable group representations are investigated with the help of the comparison theorem. For some concrete examples of projective representations of low-dimensional homogeneous groups we construct orthonormal bases in the orbit and thereby deduce explicit thresholds for the density of frames and Riesz sequences in the respective orbits.

Keywords (eng)

homogeneous groupsdensityframessampling in shift-invariant spacesprojective square-integrable representations

Keywords (deu)

homogene GruppenDichteFramesAbtasten in shift-invarianten Räumenprojektive quadrat-integrierbare Darstellungen

Subject (deu)

Funktionalanalysis

Subject (deu)

Topologische Gruppen, Liegruppen

Subject (deu)

Harmonische Analyse

Type (deu)

Dissertation