Title (eng)
Low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds
Parallel title (deu)
Niedrig reguläre Geometrie auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten
Author
Melanie Graf
Advisor
Michael Kunzinger
Assessor
Michael Kunzinger
Abstract (deu)
Die vorliegende Masterarbeit behandelt verschiedene Aspekte niedrig regulärer Geometrie auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten und besteht im Wesentlichen aus vier Kapiteln. Das erste gibt eine kurze Einführung in die Theorie der Distributionen (im Sinn von Laurent Schwartz) auf Mannigfaltigkeiten.
Im zweiten Kapitel betrachten wir singuläre Objekte auf einer Mannigfaltigkeit mit einer glatten semi-riemannschen Metrik. Dies erlaubt es uns, erfolgreich Funktionen (und Tensorfelder) von “niedrigster” Regularität, d.h., Distributionen, zu behandeln. Insbesondere interessieren wir uns dabei für Distributionen mit Träger in einer (semi-riemannschen) Hyperfläche.
Im dritten Kapitel hat die Metrik selbst nur noch niedrigere (d.h. Sobolev) Regularität. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Herleitung von Sprungformeln für diverse Krümmungsgrößen, d.h., darauf, wie Riemann- und Riccitensor sowie die Skalarkrümmmung für eine entlang der Hyperfläche unstetige Metrik aussehen. Solche Sprungformeln sind zum Beispiel in der Physik, insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, aufgrund der Einsteinschen Feldgleichungen von Bedeuntung. Als mathematische Randbemerkung betrachten wir auch noch kurz den Zusammenhang zwischen diesem distributionellen Zugang zu generalisierter Geometrie und einem Colombeau theoretischen Zugang.
Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der Geometrie, die auf einer allgemeinen Hyperfläche durch die Geometrie der gegebenen Mannigfaltigkeit induziert wird. Als Ersatz für das Normalvektorfeld, das bei nirgends lichtartigen Hyperflächen zur Verfügung steht, kann man ein so genanntes Riggingvektorfeld verwenden. Dies führt zu einer Verallgemeinerung der zweiten Fundamentalform sowie der Gauss- und Codazzi-Gleichungen, die sich im Fall einer nirgends lichtartigen Hyperfläche wieder auf die wohlbekannten reduzieren.
Abstract (eng)
This thesis is about different aspects of low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds. The first chapter offers a brief introduction to the theory of distributions (in the sense of Laurent Schwartz) on manifolds.
In the second chapter we look at singular objects on a manifold with a smooth semi-Riemannian metric. The smooth metric allows us to effectively deal with functions (and tensor fields) of the “lowest” regularity, i.e., distributions. In particular we are interested in studying distributions with support in a (semi-Riemannian) hypersurface.
In the third chapter the metric itself has lower (i.e. Sobolev) regularity. The main focus lies on deriving jump formulas for the Riemann and Ricci tensor and the scalar curvature associated with a metric that suffers a jump discontinuity across a hypersurface. Of course the reason why this is of a particular interest lies in physics, mainly general relativity, due to the Einstein field equations. We also take a short look at the compatibility of this distributional approach to generalized geometry and a Colombeau theoretic approach.
The fourth chapter focuses on the geometry induced on a general (i.e. potentially null) hypersurface by a given connection or metric on our manifold. As a substitute for the normal unit vector field (that is only available in the nowhere null case) one may use a so-called rigging vector field. This leads to a generalization of the second fundamental form and the Gauss and Codazzi equations, which reduce to the well-known standard expressions for a nowhere null hypersurface.
Keywords (eng)
distributionsnon-smooth geometrysemi-riemannian manifoldshypersurfacesmultilayer distributionscurvaturerigging vector fieldColombeau theoryGauss and Codazzi equationslocal Sobolev spaces
Keywords (deu)
Distributionensemi-riemannnsche MannigfaltigkeitenHyperflächenMultilayerlokale SobolevräumeRiggingvektorfeldKrümmungGauss- und Codazzi-GleichungenColombeau Theorie
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
69 S.
Number of pages
449
Association (deu)
Title (eng)
Low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds
Parallel title (deu)
Niedrig reguläre Geometrie auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten
Author
Melanie Graf
Abstract (deu)
Die vorliegende Masterarbeit behandelt verschiedene Aspekte niedrig regulärer Geometrie auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten und besteht im Wesentlichen aus vier Kapiteln. Das erste gibt eine kurze Einführung in die Theorie der Distributionen (im Sinn von Laurent Schwartz) auf Mannigfaltigkeiten.
Im zweiten Kapitel betrachten wir singuläre Objekte auf einer Mannigfaltigkeit mit einer glatten semi-riemannschen Metrik. Dies erlaubt es uns, erfolgreich Funktionen (und Tensorfelder) von “niedrigster” Regularität, d.h., Distributionen, zu behandeln. Insbesondere interessieren wir uns dabei für Distributionen mit Träger in einer (semi-riemannschen) Hyperfläche.
Im dritten Kapitel hat die Metrik selbst nur noch niedrigere (d.h. Sobolev) Regularität. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Herleitung von Sprungformeln für diverse Krümmungsgrößen, d.h., darauf, wie Riemann- und Riccitensor sowie die Skalarkrümmmung für eine entlang der Hyperfläche unstetige Metrik aussehen. Solche Sprungformeln sind zum Beispiel in der Physik, insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, aufgrund der Einsteinschen Feldgleichungen von Bedeuntung. Als mathematische Randbemerkung betrachten wir auch noch kurz den Zusammenhang zwischen diesem distributionellen Zugang zu generalisierter Geometrie und einem Colombeau theoretischen Zugang.
Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der Geometrie, die auf einer allgemeinen Hyperfläche durch die Geometrie der gegebenen Mannigfaltigkeit induziert wird. Als Ersatz für das Normalvektorfeld, das bei nirgends lichtartigen Hyperflächen zur Verfügung steht, kann man ein so genanntes Riggingvektorfeld verwenden. Dies führt zu einer Verallgemeinerung der zweiten Fundamentalform sowie der Gauss- und Codazzi-Gleichungen, die sich im Fall einer nirgends lichtartigen Hyperfläche wieder auf die wohlbekannten reduzieren.
Abstract (eng)
This thesis is about different aspects of low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds. The first chapter offers a brief introduction to the theory of distributions (in the sense of Laurent Schwartz) on manifolds.
In the second chapter we look at singular objects on a manifold with a smooth semi-Riemannian metric. The smooth metric allows us to effectively deal with functions (and tensor fields) of the “lowest” regularity, i.e., distributions. In particular we are interested in studying distributions with support in a (semi-Riemannian) hypersurface.
In the third chapter the metric itself has lower (i.e. Sobolev) regularity. The main focus lies on deriving jump formulas for the Riemann and Ricci tensor and the scalar curvature associated with a metric that suffers a jump discontinuity across a hypersurface. Of course the reason why this is of a particular interest lies in physics, mainly general relativity, due to the Einstein field equations. We also take a short look at the compatibility of this distributional approach to generalized geometry and a Colombeau theoretic approach.
The fourth chapter focuses on the geometry induced on a general (i.e. potentially null) hypersurface by a given connection or metric on our manifold. As a substitute for the normal unit vector field (that is only available in the nowhere null case) one may use a so-called rigging vector field. This leads to a generalization of the second fundamental form and the Gauss and Codazzi equations, which reduce to the well-known standard expressions for a nowhere null hypersurface.
Keywords (eng)
distributionsnon-smooth geometrysemi-riemannian manifoldshypersurfacesmultilayer distributionscurvaturerigging vector fieldColombeau theoryGauss and Codazzi equationslocal Sobolev spaces
Keywords (deu)
Distributionensemi-riemannnsche MannigfaltigkeitenHyperflächenMultilayerlokale SobolevräumeRiggingvektorfeldKrümmungGauss- und Codazzi-GleichungenColombeau Theorie
Subject (deu)
Subject (deu)
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Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
449
Association (deu)
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