Das Ziel dieser Masterarbeit ist die Darstellung einiger rezenter Re- sultate über die Struktur abzählbarer Borel-Äquivalenzrelationen. Die Arbeit beginnt mit der Einführung wesentlicher Voraussetzungen aus der deskriptiven Mengenlehre. §3 gibt einen vollständigen Beweis eines Re- sultates von Popa, das Rigiditätsphänomene von Property (T) Gruppen beschreibt. Mithilfe dieses Resultates und der in §4 dargestellten Eigen- schaften der speziellen linearen Gruppen über den ganzen Zahlen wird in §5 das Resultat von Scot Adams und Alexander S. Kechris bewiesen, welches besagt, dass Continuum-viele unvergleichbare abzählbare Borel- Äquivalenzrelationen existieren. Der Höhepunkt dieser Arbeit ist §6, wo mehrere Resultate von Simon Thomas über die Komplexität des Klassi- fikationsproblemes für abzählbare torsionsfreie abelsche Gruppen endlichen Ranges dargelegt werden. Der hier beschriebene Beweis folgt der neuen Beweismethode von Samuel Coskey und verwendet Adrian Ioanas Su- perrigidity Theorem.

This thesis provides an exposition of some recent results on the struc- ture of countable Borel equivalence relation. We start by introducing the relevant concepts from descriptive set theory. The main tool for our ex- ploration of the poset of countable Borel equivalence relations is given by Sorin Popa’s cocycle superrigidity theorem, which is proved in detail in §3, by means of the ergodic-theoretic methods provided by Alex Furman. Together with the properties of the special linear group over the integers described in §4 (mainly property (T)), these are the tools of the trade for the last two sections. In §5 we show how to directly derive the result of Scot Adams and Alexander S. Kechris on the existence of continuum- many incomparable countable Borel equivalence relations by means of Popa’s theorem. We conclude this thesis by giving a detailed sketch of Simon Thomas’s proof that the complexity of the classification problem for torsion-free abelian groups of fixed finite rank increases strictly (in the Borel sense) as the rank increases; we furthermore show the result of Thomas that these countably many Borel equivalence relations obtained from this classification problem are not cofinal in the poset of countable Borel equivalence relations. The proof we provide here is by Samuel Coskey, by means of Adrian Ioana’s superrigidity theorem.