Abstract (deu)
In dieser Arbeit wird untersucht, wie Beschränkungen an die Krümmung in der Riemannschen Geometrie für nicht-glatte Metriken verwendet werden können.
Im ersten Kapitel untersuchen wir Metriken mit beschränkter skalarer Krümmung. Wir konzentrieren uns auf das "positive mass theorem", das ein wichtiges Resultat in der allgemeinen Relativitätstheorie ist. Nachdem wir einen Überblick über bekannte Resultate gegeben haben, zeigen wir, dass das Theorem auch für stetige Riemannsche Metriken, die im Sobolev Raum $W^{2, n/2}_{\loc}$ liegen, auf Mannigfaltigkeiten mit Dimension $\leq 7$ oder auf Spin-Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension gütig bleibt. Wir leiten eine (negative) untere Schranke an die ADM Masse für Metriken her, deren negative skalare Krümmung eine hinreichend kleine $L^{n/2}$ Norm hat und kompakten Träger besitzt. Wir zeigen, dass eine stetige Riemannsche Metrik der Regularität $W^{2, p}_{\loc}$ für $p > n/2$ mit nichtnegativer skalarer Krümmung im distributionellen Sinn lokal gleichmässig durch glatte Metriken mit nichtnegativer skalarer Krümmung approximiert werden kann. Für stetige Metriken in $W^{2, n/2}_{\loc}$ kann man glatte approximierende Metriken mit nichtnegativer skalarer Krümmung finden, die in $L^p_{\loc}$ für $p < \infty$ konvergieren.
Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Untersuchung von Metriken, deren Ricci Krümmung beschränkt ist. Wir werden Volumsvergleiche untersuchen. Zuerst wird das klassische Resultat von Bishop und Gromov für punktweise Schranken an die Ricci Krümmung dargestellt, dieses wird dann für Metriken, die eine $L^p$ Schranke für $p>n/2$ an den Teil des Ricci Tensors, der die Relation $\Ric \ge c (n-1) \g$ verletzt, verallgemeinert.
Weiters werden wir Volumsabschätzungen und Monotonie-Formeln, die auf Integralnormen einer gewichteten Version des Negativteils der Ricci Krümmung entlang radialer Geodäten von jedem Punkt aus, herleiten. Die Verwendung dieser gewichteten Krümmungsgrössen führt zu schärferen Abschätzungen, die auch im Fall $p=n/2$ gültig bleiben.
Im dritten Teil untersuchen wir Folgen von Mannigfaltigkeiten und ihre Konvergenzeigenschaften. Wir zeigen wie eine, sowohl punktweise, als auch eine $L^p$ Schranke, an die Ricci Krümmung zu Gromov-Hausdorff Konvergenz führen.
Weiters werden wir auch zeigen, dass die Menge der Mannigfaltigkeiten, die die Krümmungseigenschaften von Kapitel 2 aufweist, kompakt in der Gromov-Hausdorff Topologie ist.
Wir werden auch harmonische Koordinaten und deren Verwendung in Beweisen von Konvergenzresultaten in bestimmten Sobolev oder Hölder Räumen diskutieren. Ein vollständiger, detaillierter Beweis der $\Ckalpha{k}{\alpha}$ Konvergenz von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit bestimmten Schranken an die Ricci Krümmung wird gegeben.
Schlussendlich betrachten wir auch Folgen von Mannigfaltigkeiten mit einer $L^p$-Schranke an die Ricci Krümmung. Wir beschreiben, wie eine zusätzliche Schranke an den gesamten Krümmungstensor zu Konvergenz in Hölder Räumen führt.