Title (eng)
Constructions of quantum fields with anyonic statistics
Parallel title (deu)
Konstruktionen von Quantenfeldern mit anyonischer Statistik
Author
Matthias Plaschke
Advisor
Jakob Yngvason
Assessor
Karl-Henning Rehren
Alan Carey
Abstract (deu)
Aus den Prinzipien der algebraischen Quantenfeldtheorie folgt, dass Teilchen in niedrigen Dimensionen nicht notwendigerweise Bosonen oder Fermionen sein müssen, sondern im Allgemeinen auch Zopfgruppen-Statistik aufweisen können. Solche Teilchen, die sogenannten Anyonen, weisen einen engen Zusammenhang zwischen ihrer Statistik, ihrer Lokalisierung und der Kovarianz bezüglich Rotationen auf. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der expliziten Konstruktion von Quantenfeldern mit anyonischer Statistik, die in unterschiedlichsten Gebieten auf dem zwei- und dreidimensionalen Minkowski-Raum lokalisiert sind. Insbesondere wird in diesem Rahmen auch die Beziehung zwischen Lokalisierung, Statistik und Spin der Quantenfelder analysiert. Der Grund für die Schwierigkeit solche Felder zu konstruieren ist das No-Go Theorem bezüglich freier Kegel-lokalisierter Anyonen in d=2+1. Diese Problematik wird in der vorliegenden Arbeit von verschiedenen Seiten angegangen indem diverse Annahmen, die der abstrakten algebraischen Formulierung zu Grunde liegen, abgeschwächt werden. Trotz eines ähnlichen No-Go Theorems für freie lokale Anyonen ist es in zwei Dimensionen möglich, für jede Masse m ≥ 0 und jeden Statistikparameter kompakt lokalisierte Quantenfelder mit anyonischen Vertauschungsrelationen zu definieren. Diese Konstruktion verwendet die Theorie der Loop Groups und der implementierbaren Bogoliubov Transformationen und ist in höheren Dimensionen im Allgemeinen nicht möglich. Daher werden in d=2+1 unter Verwendung einer aktuellen Arbeit über multiplikative Deformationen von freien Quantenfeldern auf dem Fockraum zuerst polarisationsfreie Generatoren konstruiert, die lediglich in Keilen lokalisierbar sind. Durch eine Verallgemeinerung dieser Methode auf geladene Felder ist es möglich, die Menge der zulässigen Deformationen zu erweitern und Feldoperatoren zu erhalten, die anyonische Vertauschungsrelationen erfüllen und kovariant unter einer Darstellung der Poincarégruppe mit beliebigem reellwertigen Spin sind. Ein weiterer Zugang, der unter Anderem ebenfalls die Verbindung zwischen Lokalisierung, Statistik und Spin veranschaulicht, besteht darin zuerst nur die Rotations-Freiheitsgrade zu betrachten und Feldoperatoren auf dem Kreis zu konstruieren. Durch das erneute Verwenden von implementierbaren Multiplikationsoperatoren ist es möglich ein Feldnetz zu erhalten, das in Intervallen auf dem universellen Überlagerungsraum des Kreises lokalisiert ist. Die so konstruierten Feldoperatoren erfüllen anyonische Vertauschungsrelationen, die von der Windungszahl des Lokalisierungsintervalls abhängen, und können einen reellwertigen Spin aufweisen. Durch Bilden des Tensorprodukts mit einer lokalen kovarianten Quantenfeldtheorie auf R^(2+1) ist es dann möglich ein (wechselwirkendes) anyonisches Feldnetz in drei Dimensionen zu definieren, das in „Pfaden“ von Kegeln lokalisiert und kovariant bezüglich Translationen und Rotationen ist.
Abstract (eng)
From the principles of algebraic quantum field theory it follows that in low dimensions particles are not necessarily bosons or fermions, but their statistics can in general be governed by the braid group. Such particles are called anyons and their possible statistics is intimately related to their localization properties and their covariance with respect to rotations. This work is concerned with the explicit construction of quantum fields with anyonic statistics which are localized in various different regions on two- and three-dimensional Minkowski space, and we will analyze the connection between localization, statistics and spin. The reason why this is considerably more difficult than for bosons or fermions is the no-go theorem regarding free cone-localized anyons in d=2+1. This problem is approached in this work from different directions leaving out some of the underlying assumptions one makes in the abstract algebraic quantum field theory. Despite a similar no-go theorem for free local anyons, it is in two dimensions possible to construct compactly localized quantum field nets with anyonic commutation relations for every mass m ≥ 0 and every statistics parameter by using the theory of loop groups and implementable Bogoliubov transformations. This does not work in higher dimensions so in d=2+1 we will first construct polarization free generators, which are only wedge-local, using a recent work about multiplicative deformations of free quantum fields on the Fock space. By generalizing this procedure to the charged case it is possible to extend the set of admissible deformations and end up with fields satisfying anyonic commutation relations, which are covariant w.r.t a Poincaré group representation with arbitrary real-valued spin. Another approach, which further demonstrates the connection between localization, statistics and spin of quantum field nets, is to focus first only on the rotational degrees of freedom and construct field operators on the circle. Using again implementable multiplication operators one can obtain a field net localized on intervals on the universal covering space of the circle. These field operators then have anyonic commutation relations depending on the winding number of the localization region and real-valued spin. By taking the tensor product with a local covariant quantum field theory on R^(2+1) it is possible to obtain an (interacting) anyon-like field net in three dimensions which is localized in paths of cones and covariant under translations and rotations.
Keywords (eng)
anyonsbraid group statisticsquantum fieldsalgebraic quantum field theorydeformations of quantum fields
Keywords (deu)
AnyonenZopfgruppenstatistikQuantenfelderalgebraische QuantenfeldtheorieDeformation von Quantenfeldern
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1314585
rdau:P60550 (deu)
131 S.
Number of pages
151
Association (deu)
Title (eng)
Constructions of quantum fields with anyonic statistics
Parallel title (deu)
Konstruktionen von Quantenfeldern mit anyonischer Statistik
Author
Matthias Plaschke
Abstract (deu)
Aus den Prinzipien der algebraischen Quantenfeldtheorie folgt, dass Teilchen in niedrigen Dimensionen nicht notwendigerweise Bosonen oder Fermionen sein müssen, sondern im Allgemeinen auch Zopfgruppen-Statistik aufweisen können. Solche Teilchen, die sogenannten Anyonen, weisen einen engen Zusammenhang zwischen ihrer Statistik, ihrer Lokalisierung und der Kovarianz bezüglich Rotationen auf. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der expliziten Konstruktion von Quantenfeldern mit anyonischer Statistik, die in unterschiedlichsten Gebieten auf dem zwei- und dreidimensionalen Minkowski-Raum lokalisiert sind. Insbesondere wird in diesem Rahmen auch die Beziehung zwischen Lokalisierung, Statistik und Spin der Quantenfelder analysiert. Der Grund für die Schwierigkeit solche Felder zu konstruieren ist das No-Go Theorem bezüglich freier Kegel-lokalisierter Anyonen in d=2+1. Diese Problematik wird in der vorliegenden Arbeit von verschiedenen Seiten angegangen indem diverse Annahmen, die der abstrakten algebraischen Formulierung zu Grunde liegen, abgeschwächt werden. Trotz eines ähnlichen No-Go Theorems für freie lokale Anyonen ist es in zwei Dimensionen möglich, für jede Masse m ≥ 0 und jeden Statistikparameter kompakt lokalisierte Quantenfelder mit anyonischen Vertauschungsrelationen zu definieren. Diese Konstruktion verwendet die Theorie der Loop Groups und der implementierbaren Bogoliubov Transformationen und ist in höheren Dimensionen im Allgemeinen nicht möglich. Daher werden in d=2+1 unter Verwendung einer aktuellen Arbeit über multiplikative Deformationen von freien Quantenfeldern auf dem Fockraum zuerst polarisationsfreie Generatoren konstruiert, die lediglich in Keilen lokalisierbar sind. Durch eine Verallgemeinerung dieser Methode auf geladene Felder ist es möglich, die Menge der zulässigen Deformationen zu erweitern und Feldoperatoren zu erhalten, die anyonische Vertauschungsrelationen erfüllen und kovariant unter einer Darstellung der Poincarégruppe mit beliebigem reellwertigen Spin sind. Ein weiterer Zugang, der unter Anderem ebenfalls die Verbindung zwischen Lokalisierung, Statistik und Spin veranschaulicht, besteht darin zuerst nur die Rotations-Freiheitsgrade zu betrachten und Feldoperatoren auf dem Kreis zu konstruieren. Durch das erneute Verwenden von implementierbaren Multiplikationsoperatoren ist es möglich ein Feldnetz zu erhalten, das in Intervallen auf dem universellen Überlagerungsraum des Kreises lokalisiert ist. Die so konstruierten Feldoperatoren erfüllen anyonische Vertauschungsrelationen, die von der Windungszahl des Lokalisierungsintervalls abhängen, und können einen reellwertigen Spin aufweisen. Durch Bilden des Tensorprodukts mit einer lokalen kovarianten Quantenfeldtheorie auf R^(2+1) ist es dann möglich ein (wechselwirkendes) anyonisches Feldnetz in drei Dimensionen zu definieren, das in „Pfaden“ von Kegeln lokalisiert und kovariant bezüglich Translationen und Rotationen ist.
Abstract (eng)
From the principles of algebraic quantum field theory it follows that in low dimensions particles are not necessarily bosons or fermions, but their statistics can in general be governed by the braid group. Such particles are called anyons and their possible statistics is intimately related to their localization properties and their covariance with respect to rotations. This work is concerned with the explicit construction of quantum fields with anyonic statistics which are localized in various different regions on two- and three-dimensional Minkowski space, and we will analyze the connection between localization, statistics and spin. The reason why this is considerably more difficult than for bosons or fermions is the no-go theorem regarding free cone-localized anyons in d=2+1. This problem is approached in this work from different directions leaving out some of the underlying assumptions one makes in the abstract algebraic quantum field theory. Despite a similar no-go theorem for free local anyons, it is in two dimensions possible to construct compactly localized quantum field nets with anyonic commutation relations for every mass m ≥ 0 and every statistics parameter by using the theory of loop groups and implementable Bogoliubov transformations. This does not work in higher dimensions so in d=2+1 we will first construct polarization free generators, which are only wedge-local, using a recent work about multiplicative deformations of free quantum fields on the Fock space. By generalizing this procedure to the charged case it is possible to extend the set of admissible deformations and end up with fields satisfying anyonic commutation relations, which are covariant w.r.t a Poincaré group representation with arbitrary real-valued spin. Another approach, which further demonstrates the connection between localization, statistics and spin of quantum field nets, is to focus first only on the rotational degrees of freedom and construct field operators on the circle. Using again implementable multiplication operators one can obtain a field net localized on intervals on the universal covering space of the circle. These field operators then have anyonic commutation relations depending on the winding number of the localization region and real-valued spin. By taking the tensor product with a local covariant quantum field theory on R^(2+1) it is possible to obtain an (interacting) anyon-like field net in three dimensions which is localized in paths of cones and covariant under translations and rotations.
Keywords (eng)
anyonsbraid group statisticsquantum fieldsalgebraic quantum field theorydeformations of quantum fields
Keywords (deu)
AnyonenZopfgruppenstatistikQuantenfelderalgebraische QuantenfeldtheorieDeformation von Quantenfeldern
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1314586
Number of pages
151
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