Abstract (deu)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring A_K über einem globalen Körper K mit dem Ziel, sechs grundlegende Eigenschaften von diesen zu beweisen. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Bewertungstheorie, um das nötigte Hintergrundwissen zu vermitteln. Mithilfe des direkten eingeschränkten Produktes von lokal kompakten Gruppen wird der Adelring A_K und die Idelgruppe I_K über einem globalen Körper K definiert und deren für diese Arbeit relevanten grundlegenden Eigenschaften präsentiert und bewiesen. Mit den Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum über einem globalen Körper werden wir erste Beispiele von Höhenfunktionen sehen. Abschließend werden wir Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring über einem globalen Körper K betrachten. Die sechs Eigenschaften von diesen Höhenfunktionen die wir beweisen werden lassen sich wie folgt zusammenfassen:
Alle Höhenfunktionen sind äquivalent zueinander, wobei Äquivalenz hier analog wie bei Normen auf Vektorräumen definiert ist. Das Bild einer Nullfolge unter einer Höhenfunktion ist wieder eine Nullfolge. Ist umgekehrt das Bild einer Folge von primitiven Elementen unter einer Höhenfunktion eine Nullfolge, so kann man jedes Folgenglied mit einem Skalar aus K ungleich Null multiplizieren sodass man eine Nullfolge erhält. Für jede reelle Zahl B und jeder Hhenfunktion h gibt es bis auf Multiplikation mit Skalaren aus K nur endlich viele Punkte P mit Komponenten aus K und h(P) <= B. Die letzten beiden Eigenschaften behandeln das Verhalten von Höhenfunktionen unter Multiplikation der Argumente mit Skalaren aus A_K^* und unter A_K-Basiswechsel.