You are here: University of Vienna PHAIDRA Detail o:1315250
Title (eng)
Height functions and the ring of adeles over a global field
Parallel title (deu)
Höhenfunktionen und der Adelring über einem globalen Körper
Author
Florian Aigner
Adviser
Joachim Schwermer
Assessor
Joachim Schwermer
Abstract (deu)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring A_K über einem globalen Körper K mit dem Ziel, sechs grundlegende Eigenschaften von diesen zu beweisen. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Bewertungstheorie, um das nötigte Hintergrundwissen zu vermitteln. Mithilfe des direkten eingeschränkten Produktes von lokal kompakten Gruppen wird der Adelring A_K und die Idelgruppe I_K über einem globalen Körper K definiert und deren für diese Arbeit relevanten grundlegenden Eigenschaften präsentiert und bewiesen. Mit den Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum über einem globalen Körper werden wir erste Beispiele von Höhenfunktionen sehen. Abschließend werden wir Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring über einem globalen Körper K betrachten. Die sechs Eigenschaften von diesen Höhenfunktionen die wir beweisen werden lassen sich wie folgt zusammenfassen: Alle Höhenfunktionen sind äquivalent zueinander, wobei Äquivalenz hier analog wie bei Normen auf Vektorräumen definiert ist. Das Bild einer Nullfolge unter einer Höhenfunktion ist wieder eine Nullfolge. Ist umgekehrt das Bild einer Folge von primitiven Elementen unter einer Höhenfunktion eine Nullfolge, so kann man jedes Folgenglied mit einem Skalar aus K ungleich Null multiplizieren sodass man eine Nullfolge erhält. Für jede reelle Zahl B und jeder Hhenfunktion h gibt es bis auf Multiplikation mit Skalaren aus K nur endlich viele Punkte P mit Komponenten aus K und h(P) <= B. Die letzten beiden Eigenschaften behandeln das Verhalten von Höhenfunktionen unter Multiplikation der Argumente mit Skalaren aus A_K^* und unter A_K-Basiswechsel.
Abstract (eng)
This thesis deals with height functions on free modules over the adele ring A_K over a global field K and is aimed at proofing six fundamental properties of these height functions. It starts with an introduction into valuation theory to give the needed background knowledge. By using the direct restricted product of locally compact groups we can define the adele ring A_K and the idele group I_K over a global field K and prove their properties pertinent to this thesis. The first example for height functions given in this thesis are height functions on the projective space over global fields. Finally we deal with height functions on free modules over the adele ring over a global field K. The six properties of these height functions, as mentioned above, can be summarised as following: All height functions are equivalent, where the equivalence is defined analogously as for norms on vector spaces. The image of a null sequence under a height function is a null sequence. Conversely if the image of a sequence of primitive elements under a height function is a null sequence, we can multiply every element of the sequence by a non zero scalar from K and obtain thereby a null sequence. For every real number B and every height function h there exist up to multiplication by scalars from K only finitely many points $P$ with components in K and h(P) <= B. The last two properties deal with the behaviour of height functions when the argument is multiplied by an scalar from A_K^* or when a change of A_K-basis is applied.
Keywords (eng)
height functionsadeleidelevaluation theory
Keywords (deu)
HöhenfunktionAdelIdelBewertungstheorie
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1315250
rdau:P60550 (deu)
50 S. : graph. Darst.
Number of pages
95
Association (deu)
Members (1)
Title (eng)
Height functions and the ring of adeles over a global field
Parallel title (deu)
Höhenfunktionen und der Adelring über einem globalen Körper
Author
Florian Aigner
Abstract (deu)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring A_K über einem globalen Körper K mit dem Ziel, sechs grundlegende Eigenschaften von diesen zu beweisen. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Bewertungstheorie, um das nötigte Hintergrundwissen zu vermitteln. Mithilfe des direkten eingeschränkten Produktes von lokal kompakten Gruppen wird der Adelring A_K und die Idelgruppe I_K über einem globalen Körper K definiert und deren für diese Arbeit relevanten grundlegenden Eigenschaften präsentiert und bewiesen. Mit den Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum über einem globalen Körper werden wir erste Beispiele von Höhenfunktionen sehen. Abschließend werden wir Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring über einem globalen Körper K betrachten. Die sechs Eigenschaften von diesen Höhenfunktionen die wir beweisen werden lassen sich wie folgt zusammenfassen: Alle Höhenfunktionen sind äquivalent zueinander, wobei Äquivalenz hier analog wie bei Normen auf Vektorräumen definiert ist. Das Bild einer Nullfolge unter einer Höhenfunktion ist wieder eine Nullfolge. Ist umgekehrt das Bild einer Folge von primitiven Elementen unter einer Höhenfunktion eine Nullfolge, so kann man jedes Folgenglied mit einem Skalar aus K ungleich Null multiplizieren sodass man eine Nullfolge erhält. Für jede reelle Zahl B und jeder Hhenfunktion h gibt es bis auf Multiplikation mit Skalaren aus K nur endlich viele Punkte P mit Komponenten aus K und h(P) <= B. Die letzten beiden Eigenschaften behandeln das Verhalten von Höhenfunktionen unter Multiplikation der Argumente mit Skalaren aus A_K^* und unter A_K-Basiswechsel.
Abstract (eng)
This thesis deals with height functions on free modules over the adele ring A_K over a global field K and is aimed at proofing six fundamental properties of these height functions. It starts with an introduction into valuation theory to give the needed background knowledge. By using the direct restricted product of locally compact groups we can define the adele ring A_K and the idele group I_K over a global field K and prove their properties pertinent to this thesis. The first example for height functions given in this thesis are height functions on the projective space over global fields. Finally we deal with height functions on free modules over the adele ring over a global field K. The six properties of these height functions, as mentioned above, can be summarised as following: All height functions are equivalent, where the equivalence is defined analogously as for norms on vector spaces. The image of a null sequence under a height function is a null sequence. Conversely if the image of a sequence of primitive elements under a height function is a null sequence, we can multiply every element of the sequence by a non zero scalar from K and obtain thereby a null sequence. For every real number B and every height function h there exist up to multiplication by scalars from K only finitely many points $P$ with components in K and h(P) <= B. The last two properties deal with the behaviour of height functions when the argument is multiplied by an scalar from A_K^* or when a change of A_K-basis is applied.
Keywords (eng)
height functionsadeleidelevaluation theory
Keywords (deu)
HöhenfunktionAdelIdelBewertungstheorie
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1315251
Number of pages
95
Association (deu)