Title (eng)
The determinacy of locally uncountable games
Parallel title (deu)
Die Determiniertheit von lokal überabzählbaren Spielen
Author
Martin Benedikt Köberl
Advisor
Sy-David Friedman
Assessor
Sy-David Friedman
Abstract (deu)
In dieser Arbeit wird versucht Einblicke in die Determiniertheit von überabzählbar langen Spielen zu geben. Während die Untersuchung von Determiniertheit von Spielen abzählbarer Länge bereits seit einigen Jahrzehnten
betrieben wird, sind Resultate zur Determiniertheit überabzählbar langer
Spiele erst in den letzten Jahren erzielt worden und noch immer relativ dünn
gesät. Es wird probiert, die von Itay Neeman in "The Determinacy of Long Games" benützten Methoden besser zu
verstehen und zu präsentieren. Dadurch soll vermittelt werden mit welchem
Aufwand Beweise in diesem Gebiet verbunden sind.
Das Hauptresultat dieser Arbeit ist die Determiniertheit des in Kapitel 4
vorgestellten Spiels. Für einen Forcingnamen für Folgen von reellen Zahlen
spielen zwei Personen (I und II genannt) abwechselnd natürliche Zahlen.
Kann an irgendeinem Punkt der Forcingname so interpretiert werden, dass
die produzierte Folge ein Element ist, gewinnt Spieler I; ist das nicht möglich,
gewinnt II.
In Kapitel 1 werden die grundlegenden Konzepte eingeführt. Es
wird die Ultrapowerkonstruktion sowohl für Ultrafilter als auch für Extender
vorgestellt, die nötigen großen Kardinalzahlen werden erklärt und das Konzept
des Iteration Trees, das sich in Determiniertheitstheorie und Inner model
theory als unerlässliches Werkzeug erwiesen hat, wird erläutert.
In Kapitel 2 stellen wir das oben erwähnte Forcingposet vor. Seine
wichtigste Eigenschaft ist, dass es bestimmte Kardinalzahlen erhält, was
garantiert, dass jeder Lauf des Spiels in Kapitel 4 lokal überabzählbar ist.
Um die Determiniertheit dieses Spiels zu beweisen, werden wir in Kapitel 3
ein Hilfsspiel vorstellen. Um unser Hauptresultat zu erzielen benützen
wir eine Gewinnstrategie für dieses Spiel. Mittels dieser werden wir eine
Gewinnstrategie für das lokale Spiel konstruieren.
Abstract (eng)
In this thesis we try to investigate the notion of games of uncountable length.
While much is known about games of length ω, research in the determinacy
of uncountable length is sparse and mostly very recent. We try to better
understand methods used by Itay Neeman in "The Determinacy of Long Games" to prove determinacy of
the local game of Chapter 4.
The chapters before are used to introduce the needed notions: In Chapter 1
we review the basic notions of ultrapower via an ultrafilter and ultrapower
via an extender. We introduce the large cardinals notions needed, the most
important of them is the concept of a Woodin cardinal, and define the notion
of an iteration tree, which has come to be an indispensable tool in determinacy
studies and inner model theory.
In Chapter 2 we introduce a forcing notion due to Woodin, called
Woodin’s extender algebra. In the local game introduced in Chapter 4 we
fix a name in this forcing notion for a set of sequences of reals of the same
length. In this game it is player I and II’s goal to produce a sequence of reals
so that I wins iff the name can be adequately interpreted in a shift of the
ground model so that the generated sequence is an element of it. Using chain
conditions for Woodin’s extender algebra we get that runs of the game are
locally uncountable.
Chapter 3 introduces the so-called branching game. It is an auxiliary
game needed to prove the determinacy of the local game. We will reduce a
run of the local game to several runs of the branching game and construct a
winning strategy for the local game from one for the branching game.
Keywords (eng)
determinacyextenderiteration treeWoodin cardinaluncountable game
Keywords (deu)
DeterminiertheitExtenderIteration TreeWoodinkardinalzahlüberabzählbares Spiel
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
74 S.
Number of pages
74
Study plan
Masterstudium Mathematik
[UA]
[066]
[821]
Association (deu)
Title (eng)
The determinacy of locally uncountable games
Parallel title (deu)
Die Determiniertheit von lokal überabzählbaren Spielen
Author
Martin Benedikt Köberl
Abstract (deu)
In dieser Arbeit wird versucht Einblicke in die Determiniertheit von überabzählbar langen Spielen zu geben. Während die Untersuchung von Determiniertheit von Spielen abzählbarer Länge bereits seit einigen Jahrzehnten
betrieben wird, sind Resultate zur Determiniertheit überabzählbar langer
Spiele erst in den letzten Jahren erzielt worden und noch immer relativ dünn
gesät. Es wird probiert, die von Itay Neeman in "The Determinacy of Long Games" benützten Methoden besser zu
verstehen und zu präsentieren. Dadurch soll vermittelt werden mit welchem
Aufwand Beweise in diesem Gebiet verbunden sind.
Das Hauptresultat dieser Arbeit ist die Determiniertheit des in Kapitel 4
vorgestellten Spiels. Für einen Forcingnamen für Folgen von reellen Zahlen
spielen zwei Personen (I und II genannt) abwechselnd natürliche Zahlen.
Kann an irgendeinem Punkt der Forcingname so interpretiert werden, dass
die produzierte Folge ein Element ist, gewinnt Spieler I; ist das nicht möglich,
gewinnt II.
In Kapitel 1 werden die grundlegenden Konzepte eingeführt. Es
wird die Ultrapowerkonstruktion sowohl für Ultrafilter als auch für Extender
vorgestellt, die nötigen großen Kardinalzahlen werden erklärt und das Konzept
des Iteration Trees, das sich in Determiniertheitstheorie und Inner model
theory als unerlässliches Werkzeug erwiesen hat, wird erläutert.
In Kapitel 2 stellen wir das oben erwähnte Forcingposet vor. Seine
wichtigste Eigenschaft ist, dass es bestimmte Kardinalzahlen erhält, was
garantiert, dass jeder Lauf des Spiels in Kapitel 4 lokal überabzählbar ist.
Um die Determiniertheit dieses Spiels zu beweisen, werden wir in Kapitel 3
ein Hilfsspiel vorstellen. Um unser Hauptresultat zu erzielen benützen
wir eine Gewinnstrategie für dieses Spiel. Mittels dieser werden wir eine
Gewinnstrategie für das lokale Spiel konstruieren.
Abstract (eng)
In this thesis we try to investigate the notion of games of uncountable length.
While much is known about games of length ω, research in the determinacy
of uncountable length is sparse and mostly very recent. We try to better
understand methods used by Itay Neeman in "The Determinacy of Long Games" to prove determinacy of
the local game of Chapter 4.
The chapters before are used to introduce the needed notions: In Chapter 1
we review the basic notions of ultrapower via an ultrafilter and ultrapower
via an extender. We introduce the large cardinals notions needed, the most
important of them is the concept of a Woodin cardinal, and define the notion
of an iteration tree, which has come to be an indispensable tool in determinacy
studies and inner model theory.
In Chapter 2 we introduce a forcing notion due to Woodin, called
Woodin’s extender algebra. In the local game introduced in Chapter 4 we
fix a name in this forcing notion for a set of sequences of reals of the same
length. In this game it is player I and II’s goal to produce a sequence of reals
so that I wins iff the name can be adequately interpreted in a shift of the
ground model so that the generated sequence is an element of it. Using chain
conditions for Woodin’s extender algebra we get that runs of the game are
locally uncountable.
Chapter 3 introduces the so-called branching game. It is an auxiliary
game needed to prove the determinacy of the local game. We will reduce a
run of the local game to several runs of the branching game and construct a
winning strategy for the local game from one for the branching game.
Keywords (eng)
determinacyextenderiteration treeWoodin cardinaluncountable game
Keywords (deu)
DeterminiertheitExtenderIteration TreeWoodinkardinalzahlüberabzählbares Spiel
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
74
Association (deu)
License
- Citable links
- Other links
- Managed by
- Details
- Metadata
- Export formats