Der “Moduliraum” der Stabilit¨atsbedingungen ist derzeit ein wichtiger Bestandteil der homologischen Spiegelsymmetrie (HMS). Er wurde von T. Bridgeland (2002) als ein Zugang zu einem matematischen Verst¨andnis von bestimmten in der Stringtheorie auftretenden Modulir¨aumen eingefu¨hrt. Er ordnete jeder triangulierten Kategorie eine komplexe Mannigfaltigkeit zu, deren Elemente als Bridgeland Stabilit¨atsbedingungen bezeichnet werden. HMS sagt eine Parallele zwischen dynamischer Systeme und Kategorien voraus, wobei der Raum der Bridgelandstabilit¨atsbedingungen ein Kandidat fu¨r die Rolle des Teichmu¨ller Raum spielen soll. Jedoch sind globale Informationen u¨ber den Stabilit¨atsraum nur in einer Hand voll Beispielen bekannt.

Lange vor HMS (1994), erkannten Beilinson et. al. Strukturen in einigen triangulierten Kategorien, die sie außergew¨ohnliche Sammlungen (exceptionall collections) nannten (die Abhandlung von Beilinson erschien im Jahr 1978).

Die Hauptmotivation fu¨r die vorliegende Arbeit kommt aus einer Prozedur fu¨r Erzeugung von Stabilit¨atsbedingungen durch außergew¨ohnlichen Sammlungen, die von E. Macr`ı in seiner Arbeit aus dem Jahr 2007 beschrieben wurde.

Die vorliegende Dissertation untersucht einige Aspekte des Zusammenspiels zwischen den beiden Begriffen im Titel und pr¨asentiert Neuheiten fu¨r beide Seiten. Auf der einen Seite unterstu¨tzen die Erkentnisse und Beweise u¨ber Stabilit¨atsbedingungen die oben genannte Parallele. Auf der anderen Seite treten bemerkenswerte Beziehungen zwischen außergew¨ohnlichen Darstellungen von K¨ocher in der Dissertation auf.

Die Arbeit besteht aus drei Teilen.

Im ersten Teil wird der Begriff der σ-außergew¨ohnlichen Sammlung (σ-exceptional collection) definiert, so dass jede σ-außergew¨ohnliche Sammlung (falls vorhanden) σ erzeugt, wobei σ eine Stabilit¨atsbedingung bezeichnet. Der Fokus liegt hier auf dem Konstruieren von σ-außergew¨ohnlichen Sammlungen aus einer gegebenen Stabilit¨atsbedingung σ auf Db(A), wobei A eine erbliche, hom- finite-Kategorie, linear u¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper ist. Eine Schwierigkeit kommt von den Ext-nicht-triviale Paare (Ext-nontrivial couples): dies sind außergew¨ohnliche Objekte X, Y ∈
A mit nicht verschwindenden Ext^1(X, Y ) und Ext^1(Y, X). Eine neue Einschr¨ankung fu¨r die Kategorie A, genannt Regularit¨atserhalt (regularity-preserving), macht dieses Problem kontrollierbar. Beispiele fu¨r Kategorien mit Regularit¨atserhalt werden demonstriert. Schließlich wird bewiesen, dass alle Stabilit¨atsbedingungen auf dem azyklische Dreiecksk¨ocher aus außergew¨ohnlichen Sammlungen erzeugt werden.

Das zentrale Ergebnis im zweiten Teil der Arbeit ist eine Charakterisierung der Dynkin / Euklidischen / alle anderen K¨ocher mit der Sprache der Bridgelandstabilit¨atsbedingungen.

Der dritte Teil setzt das Studium des gesamten Raumes der Stabilit¨atsbedingungen auf dem azyklischen Dreiecksk¨ocher fort. Die wichtigste Schlussfolgerung hier ist, dass dieser Raum zusammen- ziehbar ist. Dies ist das erste Beispiel eines K¨ochers Q, verschieden von Dynkin und Kronecker K¨ocher, fu¨r den bewiesen wurde, dass der Stabilit¨atsraum auf D^b(Q) zusammenziehbar ist. Daraus folgt, dass der Stabilit¨atsraum auf der gewichteten projektiven Gerade P^1(1, 2) zusammenziehbar ist.

The “moduli space” of stability conditions is currently an important ingredient in the framework of Homological Mirror Symmetry (HMS). It was introduced by T. Bridgeland (2002) as an approach to mathematical understanding of certain moduli spaces arising in string theory. He assigned to any triangulated category a complex manifold, whose elements are referred to as Bridgeland stability conditions. HMS predicts a parallel between dynamical systems and categories whereby the space of Bridgeland stability conditions is a candidate to play the role of the Teichmu¨ller space. However, global information for the stability space is known in only a handful of examples.

Long before HMS (1994), Beilinson et. al. observed patterns in the structure of some triangulated categories which they called exceptional collections (Beilinson’s paper appeared in 1978).

The main motivation for the present work comes from a procedure generating stability conditions from exceptional collections, described by E. Macr`i in his paper from 2007.

This thesis explores some aspects of the interplay between the two notions in the title and unveils novelties for both sides. On the one hand, the findings concerning stability conditions are new evidences supporting the parallel mentioned above. On the other hand, remarkable relations between exceptional representations of quivers appear in the thesis.

The work consists of three parts.

In the first part is defined the notion of a σ-exceptional collection so that any full σ-exceptional collection (if such exists) generates σ, where σ denotes a stability condition. The focus here lies on constructing σ-exceptional collections from a given stability condition σ on D^b(A), where A is a hereditary, hom-finite category, linear over an algebraically closed field. One difficulty is due to the Ext-nontrivial couples: exceptional objects X, Y ∈ A with non-vanishing Ext^1(X, Y ) and Ext^1(Y, X). A new constraint on the category A, called regularity-preserving, makes this difficulty manageable. Examples of regularity-preserving categories are demonstrated. Finally, all stability conditions on the acyclic triangular quiver are shown to be generated by exceptional collections.

The central result in the second part of the thesis is a characterization of the Dynkin/Euclidean/ all other quivers on the language of Bridgeland stability conditions.

The third part continues with the study of the entire space of stability conditions on the acyclic triangular quiver. The main conclusion here is that this space is contractible. This is the first example of a quiver Q different from Dynkin and Kronecker quivers for which the stability space on the derived category of representations of Q is shown to be contractible. It follows that the stability space on the weighted projective line P^1(1, 2) is contractible.