Title (eng)
Causality theory for C^{1,1} metrics
Parallel title (deu)
Kausalitätstheorie für C^{1,1} Metriken
Author
Milena Stojkovic
Advisor
Michael Kunzinger
Assessor
James Grant
Assessor
Gerald Teschl
Abstract (deu)
Diese Dissertation befasst sich mit der Kausalitätstheorie von Metriken niedriger Differenzierbarkeitsklasse, insbesondere solchen der Klasse $C^{1,1}$. Eines der Hauptwerkzeuge um lokale Kausalität und damit Singularitätentheorie zu studieren ist die Exponentialabbildung. In der pseudo-Riemannschen Geometrie mit glatter Metrik ist die Exponentialabbildung ein lokaler Diffeomorphismus, was von zentraler Bedeutung für viele grundlegende Konstruktionen wie Normalkoordinaten, normale Umgebungen, Injektivitätsradius und Vergleichssätze ist. In jüngster Zeit gab es verstärkte Bemühungen, die niedrigste Differenzierbarkeitsklasse zu finden, für welche die üblichen Ergebnisse der Kausalitätstheorie noch gültig sind. Ein plausibler Kandidat dafür ist die Klasse $C^{1,1}$, welche die Grenze darstellt für die die Geodätengleichung noch eindeutig lösbar ist. Das erste Ziel dieser Arbeit ist deshalb zu zeigen, dass die Exponentialabbildung einer $C^{1,1}$ pseudo-Riemannschen Metrik so regulär wie möglich ist, d.h. dass sie ein lokaler bi-Lipschitz-Homöomorphismus ist. Damit zeigen wir die Existenz von total normalen Umgebungen und erhalten zentrale Aussagen der lokalen Kausalitätstheorie in diesem Kontext. Das nächste Ziel ist die Weiterentwicklung der Kausalitätstheorie für $C^{1,1}$-Metriken. Dabei untersuchen wir die globale Struktur von Raumzeiten und betrachten mögliche Kausalitätsbedingungen und die wichtigsten Eigenschaften von Cauchy-Entwicklungen und Cauchy-Horizonten. Der letzte Teil ist dem Studium von Singularitätentheoremen gewidmet. Mit den zuvor entwickelten Grundbausteinen der Kausalitätstheorie für $C^{1,1}$-Metriken beweisen wir das Singularitätentheorem von Hawking für diese Regularitätsklasse.
Abstract (eng)
This thesis studies the causality theory with low differentiability metrics, in particular, with metrics of $C^{1,1}$ regularity class. One of the key tools for studying local causality and therefore, singularity theory is the exponential map. In smooth pseudo-Riemannian geometry, the fact that the exponential map is a local diffeomorphism is of central importance for many fundamental constructions such as normal coordinates, normal neighborhoods, injectivity radius and comparison methods. There has for some time been considerable interest in determining the lowest degree of differentiability where one could expect the standard results of causality theory to remain valid. A reasonable candidate is given by the $C^{1,1}$ regularity class as it represents the threshold of the unique solvability of the geodesic equation. Hence our aim is to show that the exponential map of a $C^{1,1}$ pseudo-Riemannian metric retains its maximal possible regularity, namely, that is a local bi-Lipschitz homeomorphism. This will allow us to prove the existence of totally normal neighborhoods and establish the key results of local causality theory. The next goal is to further develop causality theory for $C^{1,1}$ metrics. We also study the global structure of spacetimes, reviewing the causality conditions that can be imposed on a spacetime and the main properties of Cauchy developments and Cauchy horizons. The last part is devoted to the study of singularity theorems. Having the key elements of causality theory for $C^{1,1}$ metrics developed, we prove the Hawking singularity theorem in this regularity.
Keywords (eng)
Exponential maplow regularitytotally normal neighborhoodscausality theoryregularizationsingularity theorems
Keywords (deu)
Exponentialabbildungniedrige Regularitätnormale UmgebungenKausalitätstheorieRegularisierungSingularitätentheoremen
Subject (deu)
Type (deu)
Extent (deu)
126 S.
Number of pages
172
Study plan
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
[UA]
[796]
[605]
[405]
Association (deu)
Members (1)
Title (eng)
Causality theory for C^{1,1} metrics
Parallel title (deu)
Kausalitätstheorie für C^{1,1} Metriken
Author
Milena Stojkovic
Abstract (deu)
Diese Dissertation befasst sich mit der Kausalitätstheorie von Metriken niedriger Differenzierbarkeitsklasse, insbesondere solchen der Klasse $C^{1,1}$. Eines der Hauptwerkzeuge um lokale Kausalität und damit Singularitätentheorie zu studieren ist die Exponentialabbildung. In der pseudo-Riemannschen Geometrie mit glatter Metrik ist die Exponentialabbildung ein lokaler Diffeomorphismus, was von zentraler Bedeutung für viele grundlegende Konstruktionen wie Normalkoordinaten, normale Umgebungen, Injektivitätsradius und Vergleichssätze ist. In jüngster Zeit gab es verstärkte Bemühungen, die niedrigste Differenzierbarkeitsklasse zu finden, für welche die üblichen Ergebnisse der Kausalitätstheorie noch gültig sind. Ein plausibler Kandidat dafür ist die Klasse $C^{1,1}$, welche die Grenze darstellt für die die Geodätengleichung noch eindeutig lösbar ist. Das erste Ziel dieser Arbeit ist deshalb zu zeigen, dass die Exponentialabbildung einer $C^{1,1}$ pseudo-Riemannschen Metrik so regulär wie möglich ist, d.h. dass sie ein lokaler bi-Lipschitz-Homöomorphismus ist. Damit zeigen wir die Existenz von total normalen Umgebungen und erhalten zentrale Aussagen der lokalen Kausalitätstheorie in diesem Kontext. Das nächste Ziel ist die Weiterentwicklung der Kausalitätstheorie für $C^{1,1}$-Metriken. Dabei untersuchen wir die globale Struktur von Raumzeiten und betrachten mögliche Kausalitätsbedingungen und die wichtigsten Eigenschaften von Cauchy-Entwicklungen und Cauchy-Horizonten. Der letzte Teil ist dem Studium von Singularitätentheoremen gewidmet. Mit den zuvor entwickelten Grundbausteinen der Kausalitätstheorie für $C^{1,1}$-Metriken beweisen wir das Singularitätentheorem von Hawking für diese Regularitätsklasse.
Abstract (eng)
This thesis studies the causality theory with low differentiability metrics, in particular, with metrics of $C^{1,1}$ regularity class. One of the key tools for studying local causality and therefore, singularity theory is the exponential map. In smooth pseudo-Riemannian geometry, the fact that the exponential map is a local diffeomorphism is of central importance for many fundamental constructions such as normal coordinates, normal neighborhoods, injectivity radius and comparison methods. There has for some time been considerable interest in determining the lowest degree of differentiability where one could expect the standard results of causality theory to remain valid. A reasonable candidate is given by the $C^{1,1}$ regularity class as it represents the threshold of the unique solvability of the geodesic equation. Hence our aim is to show that the exponential map of a $C^{1,1}$ pseudo-Riemannian metric retains its maximal possible regularity, namely, that is a local bi-Lipschitz homeomorphism. This will allow us to prove the existence of totally normal neighborhoods and establish the key results of local causality theory. The next goal is to further develop causality theory for $C^{1,1}$ metrics. We also study the global structure of spacetimes, reviewing the causality conditions that can be imposed on a spacetime and the main properties of Cauchy developments and Cauchy horizons. The last part is devoted to the study of singularity theorems. Having the key elements of causality theory for $C^{1,1}$ metrics developed, we prove the Hawking singularity theorem in this regularity.
Keywords (eng)
Exponential maplow regularitytotally normal neighborhoodscausality theoryregularizationsingularity theorems
Keywords (deu)
Exponentialabbildungniedrige Regularitätnormale UmgebungenKausalitätstheorieRegularisierungSingularitätentheoremen
Subject (deu)
Type (deu)
Number of pages
172
Association (deu)