Abstract (deu)
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Studium Zeit-Frequenz-lokalisierter Funktionen, insbesondere deren Abtastung, Approximation und Rekonstruktion im Gabor Kontext, sowie der Konstruktion adaptiver Transformationen und deren Verwendung zur Verarbeitung von Audiosignalen. Zeit-Frequenz-Lokalisierungsoperatoren liefern uns Werkzeuge zur Beschreibung der Konzentration, beziehungsweise Lokalisation, von Funktionen in einer gewissen Region der Zeit-Frequenz-Ebene. Wir charakterisieren die Konzentration einer Funktion in solchen Regionen und vergleichen unterschiedliche Lokalisationsmaße, um schliesslich die Approximation Zeit-Frequenz-lokalisierter Funktionen durch lokale Gaborsysteme zu untersuchen. In einem geeigneten Maß der Zeit-Frequenz-Lokalisation können wir den Approximationsfehler nach oben abschätzen. Insbesondere zeigen wir, dass Funktionen, welche in einem von den Eigenfunktionen eines Lokalisierungsoperators generierten Unterraum liegen, in folgendem Sinne durch lokale Gaborsysteme beschrieben werden können: Vergrößern wir die durch den Lokalisierungsoperator beschriebene Zeit-Frequenz-Region ausreichend, so erfüllt das auf diese vergrößerte Region eingeschränkte lokale Gaborsystem eine Art Frame-Ungleichung für Funktionen im von den Eigenfunktionen aufgespannten Unterraum. Dies erlaubt die Konstruktion von Zeit-Frequenz-Systemen aus, bezüglich einer bestimmten Region, maximal konzentrierten Funktionen, so dass eine Familie solcher Funktionen ein globales Frame ist. Weiters untersuchen wir die zuällige Abtastung Zeit-Frequenz-lokalisierter Funktionen und bestimmen die Wahrscheinlichkeit, mit welcher für solche lokalisierten Funktionen eine Sampling-Ungleichung gilt, abhängig von der Region der Lokalisierung. Außerdem präsentieren wir zwei Methoden zur Konstruktion adaptiver, Zeit-Frequenz-basierter Transformationen durch (a) Zeit-Frequenz-lokalisierte Unterräume und (b) nichtstationäre Gaborsysteme, sowie ihre Vorteile im Kontext der Audiosignalverarbeitung. Wir zeigen, dass näherungsweise Projektion auf Zeit-Frequenz-lokalisierte Unterräume zu einer Verminderung des Rekonstruktionsfehlers bezüglich der zugehörigen Analysekoeffizienten führt. Außerdem diskutieren wir die Konstruktion nichtstationärer Gaborsysteme mit fehlerloser Rekonstruktion und ihre Anwendung in der Signalverarbeitung, unter anderem am Beispiel einer invertierbaren Constant-Q Transformation.