Generic one-step bracket generating distributions of rank four

Zanet Chiara De

doi:10.25365/thesis.41905

You are here: University of Vienna PHAIDRA Detail o:1325796

Title (eng)

Generic one-step bracket generating distributions of rank four

Parallel title (deu)

Generische in einem Schritt klammererzeugene Distributionen vom Rank vier

Author

Zanet Chiara De

Advisor

Andreas Cap

Assessor

Jan Slovak

Boris Doubrov

Abstract (deu)

Sei M eine endlich dimensionale glatte Mannigfalltigkeit. Bezeichne mit H eine glatte Distribution auf M und mit [H,H] jenes Teilbuendel von TM, das von Lie Klammern erster Ordnung von Schnitten von H erzeugt wird. Man nennt H in einem Schritt klammererzeugend wenn TM = H + [H,H]. Die Hauptresultate in der Dissertation betreffen generische, klammererzeugende Distributionen vom Rang 4. Zunaechst wird eine vollstaendige Klassifikation ihrer Typen bewiesen. Diese zeigt, dass solche Distributionen genau in den Dimensionen von 5 bis 10 existieren, und wir betrachten die Faelle n = 8 und n = 9, da diese in der Literatur noch nicht behandelt wurden. Fuer (4,8) Distributionen beweisen wir, dass es zwei verschiedene generische Typen gibt, die beide zu einer normalen parabolischen Geometrie aequivalent sind. Aufgrund dieser Aequivalenz koennen wir die lokalen Invarianten dieser Struktur aus der harmonischen Kruemmung der korrespondierenden parabolischen Geometrie herauslesen, was eine vollstaendige Beschreibung bezueglich der lokalen Geometrie liefert. Dieselben Werkzeuge aus der Theorie der parabolischen Geometrie liefern eine Anwendung in der Beschreibung von submaximalen symmetrischen Modellen von generischen (4,8) Distributionen vom hyperbolischen Typ. Unter der Verwendung von Resultaten von Tanaka und Morimoto ueber die Verlaengerungsprozedur, die eine bestimmte Konstruktion fuer klassische G Strukturen auf Filtrierungen verallgemeinert, zeigen wir, dass der (4,9) Fall der niedrigstdimensionale in einer abzaehlbaren Serie von in einem Schritt klammererzeugenden Distributionen ist, die eine kanonische lineare Konnexion auf dem Tangentialbuendel TM bestimmt. Die Torsion und die Kruemmung dieser Konnexion sind dann lokale Invarianten fuer diese Strukturen.

Abstract (eng)

Let M be a finite--dimensional manifold. Denote by H a smooth subbundle of TM and by [H,H] the subbundle of TM generated by all brackets of first order among sections of H. We say that H is bracket--generating in one step if TM = H + [H,H]. The main results of the thesis concern generic one-step bracket generating distributions of rank four. First of all, we get the classification of their types. These exist in dimensions between 5 and 10, and we focus on the cases n=8 and n=9, which have not been treated in the literature. We prove that there exist two generic types of (4,8)-distributions and that each type is equivalent to a normal parabolic geometry. Aware of this equivalence, we can read out the local invariants for these structures from the harmonic curvature associated to the corresponding parabolic geometries, thus describing them completely from the point of view of the local geometry. The same tools from parabolic geometry find a nice application in the description of submaximally symmetric models of generic (4,8)-distributions of hyperbolic type. Using results of Tanaka and Morimoto about the prolongation procedure, which generalize a certain construction for classical G-structures to the filtered setting, we show that the (4,9)-case is the lowest dimensional in a countable series of one-step bracket generating distributions which determine a canonical linear connection on the tangent bundle TM. The torsion and curvature of this connection, then, are local invariants for these structures.

Keywords (eng)

Distributions on differentiable manifolds

Keywords (deu)

Distributionen auf glatte Mannigfaltigkeiten

Subject (deu)

Differentialgeometrie

Type (deu)

Dissertation

Persistent identifier

https://phaidra.univie.ac.at/o:1325796

DOI

10.25365/thesis.41905