Asymptotically holomorphic extensions and their application to Denjoy-Carleman classes

David Nicolas Nenning

doi:10.25365/thesis.43126

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Title (eng)

Asymptotically holomorphic extensions and their application to Denjoy-Carleman classes

Parallel title (deu)

Asymptotisch holomorphe Ausdehnungen und deren Anwendung auf Denjoy-Carleman Klassen

Author

David Nicolas Nenning

Advisor

Armin Rainer

Assessor

Armin Rainer

Abstract (deu)

Wir charakterisieren gewisse Klassen glatter Funktionen, die auf der reellen Geraden definiert sind, durch die Existenz von Ausdehnungen in die komplexe Ebene, deren d-quer Ableitung für reelle Argumente verschwindet und nahe der reellen Geraden rasch abfällt. Solche Ausdehnungen werden asymptotisch holomorphe Ausdehnungen genannt. Das Abfallverhalten der d-quer Ableitung solch einer Ausdehnung bestimmt dann die Regularität der gegebenen Funktion. Wir konzentrieren uns auf eine Charakterisierung von Denjoy-Carleman Klassen. Dies sind Klassen glatter Funktionen, die eine Wachstumsbedingung an alle Ableitungen bezüglich einer Gewichtsfolge erfüllen, d.h. die n-te Ableitung kann durch das n-te Gewicht dominiert werden. Die meisten Beweise der Haupttheoreme verwenden das so genannte Zwei-Konstanten Theorem. Um dieses formulieren zu können, definieren wir das Konzept des harmonischen Maßes für Jordan Gebiete und für gewisse unbeschränkte Gebiete. Neben einem Beweis des Zwei-Konstanten Theorems erarbeiten wir auch eine geometrische Beschreibung des harmonischen Maßes. Wir verwenden diese Konzepte um alternative Beweise klassischer Resultate für Denjoy-Carleman Klassen herzuleiten und sind in der Lage ein starkes quantitatives Resultat zu zeigen. Zusätzlich präsentieren wir zwei Resultate von Borichev und Volberg, die verwendet werden können um zu zeigen, dass ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, das durch eine quasianalytische Funktion definiert ist, unter gewissen Voraussetzungen nur endlich viele Limes Zyklen zulässt.

Abstract (eng)

We characterize certain smooth function classes defined on the real line by the existence of extensions to the complex plane whose d-bar derivative vanishes for real arguments and decreases rapidly near the real line. Such extensions are called asymptotically holomorphic extensions. The speed of decay of the d-bar derivative of such an extension then determines the regularity of the given function. We focus on a characterization of Denjoy-Carleman classes. Those are classes of smooth functions which satisfy a growth condition on all their derivatives in terms of a weight sequence, i.e. the n-th derivative can be dominated by the n-th weight. Most of the proofs of the major theorems use the so-called two-constants theorem. In order to formulate the theorem, we define the concept of harmonic measure for Jordan domains and for certain unbounded domains. Apart from proving the two-constants theorem, we also give a geometric description of the harmonic measure. We use these concepts to derive alternative proofs of classical theorems for Denjoy-Carleman classes and are able to prove a strong quantitative result. In addition we present two results of Borichev and Volberg that can be used to prove that under certain conditions a system of ODEs defined by a quasianalytic function only admits finitely many limit cycles.

Keywords (eng)

asymptotically holomorphic functionsDenjoy-Carleman classesDenjoy-Carleman theoremharmonic measurestwo-constants theorem

Keywords (deu)

Asymptotisch holomorphe FunktionenDenjoy-Carleman KlassenDenjoy-Carleman TheoremHarmonische MaßeZwei-Konstanten Theorem

Subject (deu)

Reelle Analysis

Subject (deu)

Funktionen mit einer komplexen Variablen

Subject (deu)

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Type (deu)

Masterarbeit