Title (eng)
Scaling limits of random one-dimensional diffusions
Author
Ulrich Rößler
Advisor
Jiři Černý
Assessor
Jiři Černý
Abstract (deu)
Wir entwickeln eine allgemeine Theorie über eindimensionale Diffusionen, welche durch stochastische Differentialgleichungen definiert sind. Eindimensionale Diffusionen können als zeitlich geänderte Brownsche Bewegungen dargestellt werden. Eine zeitlich geänderte Brownsche Bewegung wird durch das Geschwindigkeitsmaß der Diffusion bestimmt.
Wir beschäftigen uns mit den Grenzwerten skalierter eindimensionaler Diffusionen, die durch stochastische Differentialgleichungen definiert sind.
Zuerst studieren wir eine Diffusion, welche von einer stochastischen Differentialgleichung ohne Drift bestimmt wird.
Indem wir diese Diffusion passend skalieren, erhalten wir schwach konvergierende Folgen von Diffusionen.
Abhängig von den Voraussetzungen konvergiert eine passend skalierte Folge von Diffusionen gegen die Brownsche Bewegung und eine andere passend skalierte Folge gegen die FIN-Diffusion.
Um diese Konvergenzaussagen zu beweisen, verwenden wir Stone's Theorem. Stone's Theorem impliziert, dass es ausreicht, die vage Konvergenz der Geschwindigkeitsmaße der entsprechenden skalierten Diffusionen zu zeigen, um die schwache Konvergenz der skalierten Diffusionen zu erhalten.
Die zweite Diffusion, mit der wir uns auseinandersetzen, wird durch eine stochastische Differentialgleichung mit Drift bestimmt. Wir verfahren analog wie zuvor und zeigen, dass eine passend skalierte Folge von Diffusionen gegen die FIN-Diffusion konvergiert, indem wir Stone's Theorem anwenden.
Abstract (eng)
We establish a general theory concerning one-dimensional diffusions, derived from stochastic differential equations. One dimensional diffusions coming from SDEs without drift, can be expressed as time changed Brownian motions. A time changed Brownian motion is characterized by the speed measure of a diffusion. The speed measure can be obtained by the SDE.
We devote ourselves to determining scaling limits of random diffusions derived from stochastic differential equations.
At first we consider a diffusion defined by a stochastic differential equation without drift. Suitably rescaling this diffusion we obtain sequences of diffusions which converge weakly.
Depending on the assumptions we show that one suitably rescaled sequence converges weakly to the Brownian motion and another suitably rescaled sequence converges weakly to the FIN-diffusion. Applying Stone's theorem it is sufficient to show vague convergence of the respective speed measures in order to obtain weak convergence of the rescaled diffusion sequences.
Analogously we proceed for the second diffusion coming form a stochastic differential equation which has non-zero drift. Using Stone's theorem we show weak convergence to the FIN-diffusion of a suitably rescaled sequence of diffusions.
Keywords (deu)
DiffusionBrownsche BewegungStochastische Differentialgleichung
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1332262
rdau:P60550 (deu)
56 Seiten
Number of pages
75
Association (deu)
Title (eng)
Scaling limits of random one-dimensional diffusions
Author
Ulrich Rößler
Abstract (deu)
Wir entwickeln eine allgemeine Theorie über eindimensionale Diffusionen, welche durch stochastische Differentialgleichungen definiert sind. Eindimensionale Diffusionen können als zeitlich geänderte Brownsche Bewegungen dargestellt werden. Eine zeitlich geänderte Brownsche Bewegung wird durch das Geschwindigkeitsmaß der Diffusion bestimmt.
Wir beschäftigen uns mit den Grenzwerten skalierter eindimensionaler Diffusionen, die durch stochastische Differentialgleichungen definiert sind.
Zuerst studieren wir eine Diffusion, welche von einer stochastischen Differentialgleichung ohne Drift bestimmt wird.
Indem wir diese Diffusion passend skalieren, erhalten wir schwach konvergierende Folgen von Diffusionen.
Abhängig von den Voraussetzungen konvergiert eine passend skalierte Folge von Diffusionen gegen die Brownsche Bewegung und eine andere passend skalierte Folge gegen die FIN-Diffusion.
Um diese Konvergenzaussagen zu beweisen, verwenden wir Stone's Theorem. Stone's Theorem impliziert, dass es ausreicht, die vage Konvergenz der Geschwindigkeitsmaße der entsprechenden skalierten Diffusionen zu zeigen, um die schwache Konvergenz der skalierten Diffusionen zu erhalten.
Die zweite Diffusion, mit der wir uns auseinandersetzen, wird durch eine stochastische Differentialgleichung mit Drift bestimmt. Wir verfahren analog wie zuvor und zeigen, dass eine passend skalierte Folge von Diffusionen gegen die FIN-Diffusion konvergiert, indem wir Stone's Theorem anwenden.
Abstract (eng)
We establish a general theory concerning one-dimensional diffusions, derived from stochastic differential equations. One dimensional diffusions coming from SDEs without drift, can be expressed as time changed Brownian motions. A time changed Brownian motion is characterized by the speed measure of a diffusion. The speed measure can be obtained by the SDE.
We devote ourselves to determining scaling limits of random diffusions derived from stochastic differential equations.
At first we consider a diffusion defined by a stochastic differential equation without drift. Suitably rescaling this diffusion we obtain sequences of diffusions which converge weakly.
Depending on the assumptions we show that one suitably rescaled sequence converges weakly to the Brownian motion and another suitably rescaled sequence converges weakly to the FIN-diffusion. Applying Stone's theorem it is sufficient to show vague convergence of the respective speed measures in order to obtain weak convergence of the rescaled diffusion sequences.
Analogously we proceed for the second diffusion coming form a stochastic differential equation which has non-zero drift. Using Stone's theorem we show weak convergence to the FIN-diffusion of a suitably rescaled sequence of diffusions.
Keywords (deu)
DiffusionBrownsche BewegungStochastische Differentialgleichung
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1332263
Number of pages
75
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