Bernhard Riemann stellte in seiner Arbeit \textit{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse} im Jahre 1859 die Nachwelt vor große Aufgaben. Er knüpft in dieser Abhandlung an Untersuchungen über die Zetafunktion an, mit der sich bereits Leonhard Euler 100 Jahre zuvor beschäftigte. Riemann formuliert in seiner nur acht Seiten langen Arbeit interessante Aussagen über die Verteilung der Primzahlen, von denen er aber nur eine selbst bewies. Somit gilt diese Arbeit mitunter als Geburtsstunde der analytischen Zahlentheorie. Ein Zugang zu dieser Arbeit führt über den Bereich der Arithmetischen Funktionen. Die Frage nach den Eigenschaften und der Darstellung solcher Funktionen gilt dabei als zentrale Problemstellung und erfordert das Untersuchen von einigen typischen Beispielen. Dabei werden wir uns mit der Multiplikativität und Additivität beschäftigen, um später Rückschlüsse auf algebraische Strukturen ziehen zu können. Anschließend wenden wir uns der speziellen arithmetischen Funktion - der Riemannsche Zetafunktion - zu, die den zweiten Teil dieser Arbeit bildet. Anhand von Primzahlbeweisen werden wir sodann die Entstehung der Zetafunktion nachvollziehen. Genau diese Beweise leiten uns dann zur Darstellung der Funktionsgleichung und deren Beweis, wobei wir zeigen werden, dass sich dies nur durch andere Funktionen, wie die Gamma- und Thetafunktion bewerkstelligen lässt. Abschließend soll anhand der Riemannschen Vermutung gezeigt werden, dass sich die Beschäftigung mit Riemanns Arbeit immer noch lohnt, da eine Idee Riemanns bis heute nicht zur Gänze bewiesen wurde.

In his work \textit{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse}, published in 1859, Bernhard Riemann left many challenges to his successors. In this study about the zeta function, he enters where Leonhard Euler left off 100 years earlier. On mere 8 pages, Riemann formulated a number of conjectures about the distribution of prime numbers but only proving one of them. Not only therefore this work is nowadays often seen as the origin of analytic number theory. One potential approach to the work of Riemann is via arithmetic functions. Questions concerning properties and representations of such functions are at the very core of the problem and thus require the analysis of classic examples to build up familiarity with the concept. We will work on multiplicativity and additivity to later on draw conclusions based on algebraic structures. Equipped with this knowledge, we will then focus on a specific arithmetic function, the Riemann zeta function, and illustrate its development by doing proofs on prime numbers. Exactly those proofs will then lead to the representation of the functional form and the proof thereof. In the process we will show, that this can only be done by exploiting properties of other interesting functions, namely gamma and theta functions.
We will round up the journey by demonstrating that it is still fruitful and relevant to study the work of Riemann and illustrate this by what he is still most famous for: the unproven Riemann hypothesis.