Title (deu)
Monte-Carlo-Integration
eine Einführung mit Mathematica
Author
Lukas Franz Ostermann
Advisor
Michael Schlosser
Assessor
Michael Schlosser
Abstract (deu)
Integrieren mithilfe des Zufalls, das ist, was die Monte-Carlo-Integration leistet. Diese Diplomarbeit beschäftigt sich sowohl mit der theoretischen als auch mit der praktischen Seite dieser speziellen Art des numerischen Integrierens. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf die Umsetzung dieser Integrationsmethode mit Mathematica gelegt, die im Rahmen von vielen Beispielen ausführlich erklärt wird. Die ersten beiden Kapitel bilden das Fundament für diese Arbeit. Zunächst werden einige, für diese Arbeit relevante, Ergebnisse aus der Wahrscheinlichkeitstheorie präsentiert. Die Erzeugung von Zufallszahlen und zufälligen Vektoren wird im zweiten Kapitel thematisiert. Im dritten Kapitel wird ausgehend von den beiden vorherigen Kapiteln die (naive) Monte-Carlo-Integration eingeführt. Darüberhinaus werden in diesem Hauptkapitel neben einem interessanten Spezialfall, der sogenannten hit-or-miss-Monte-Carlo-Integration, und einer weiteren Art zur Zufallszahlerzeugung, die Genauigkeit der Monte-Carlo-Integration eingehend behandelt. Im vierten Kapitel wird die Monte-Carlo-Integration mit der Trapezregel verglichen, um die Vor- und Nachteile dieser Integrationsmethode herauszuarbeiten. Während die universelle Einsetzbarkeit sicher die größte Stärke dieser Methode ist, so ist die Geschwindigkeit ihre größte Schwäche. Im fünften Kapitel wird gezeigt, wie die Monte-Carlo-Integration mithilfe von Techniken zur Varianzreduktion oder durch den Einsatz von Quasizufallszahlen beschleunigt werden kann. Abschließend wird ein Modell vorgestellt, dass es Dartspielerinnen und -spielern ermöglicht, in Abhängigkeit von ihrer Spielstärke, den optimalen Zielpunkt zu finden.
Abstract (eng)
Integrating using randomness, that is what the Monte Carlo integration does. This diploma thesis deals with the theoretical and practical aspects of this special kind of numerical integration. Special attention is given to the implementation of this method of numerical integration in Mathematica, which is explained in detail using multiple examples. The first two chapters provide the foundation of the thesis. Firstly, some important results from the field of probability theory are presented. Secondly, the generation of random numbers and random vectors is discussed. In chapter three, based on the two previous chapters, (crude) Monte Carlo Integration is introduced. Additionally, an interesting special case called hit-or-miss Monte Carlo integration, a further technique to generate randomness, and the accuracy of this integration method are discussed in this main chapter. In chapter four, Monte Carlo integration and the trapezoidal rule are compared in order to identify their advantages and disadvantages. While universal applicability is certainly the greatest strength of this method, speed is its greatest weakness. Chapter five shows how Monte Carlo integration can be accelerated with variance reduction or the use of quasi-random sequences. Finally, a probabilistic model is presented which allows darts players to find the ideal spot to aim for depending on their skills.
Keywords (eng)
Monte Carlonumerical integrationtrapezoidal rulerandom numbersMathematicadartsvariance reduction
Keywords (deu)
Monte-Carlonumerische IntegrationTrapezregelZufallszahlenMathematicaDartsVarianzreduktion
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
104 Seiten : Illustrationen
Number of pages
108
Study plan
Lehramtsstudium UF Physik UF Mathematik
[UA]
[190]
[412]
[406]
Association (deu)
Title (deu)
Monte-Carlo-Integration
eine Einführung mit Mathematica
Author
Lukas Franz Ostermann
Abstract (deu)
Integrieren mithilfe des Zufalls, das ist, was die Monte-Carlo-Integration leistet. Diese Diplomarbeit beschäftigt sich sowohl mit der theoretischen als auch mit der praktischen Seite dieser speziellen Art des numerischen Integrierens. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf die Umsetzung dieser Integrationsmethode mit Mathematica gelegt, die im Rahmen von vielen Beispielen ausführlich erklärt wird. Die ersten beiden Kapitel bilden das Fundament für diese Arbeit. Zunächst werden einige, für diese Arbeit relevante, Ergebnisse aus der Wahrscheinlichkeitstheorie präsentiert. Die Erzeugung von Zufallszahlen und zufälligen Vektoren wird im zweiten Kapitel thematisiert. Im dritten Kapitel wird ausgehend von den beiden vorherigen Kapiteln die (naive) Monte-Carlo-Integration eingeführt. Darüberhinaus werden in diesem Hauptkapitel neben einem interessanten Spezialfall, der sogenannten hit-or-miss-Monte-Carlo-Integration, und einer weiteren Art zur Zufallszahlerzeugung, die Genauigkeit der Monte-Carlo-Integration eingehend behandelt. Im vierten Kapitel wird die Monte-Carlo-Integration mit der Trapezregel verglichen, um die Vor- und Nachteile dieser Integrationsmethode herauszuarbeiten. Während die universelle Einsetzbarkeit sicher die größte Stärke dieser Methode ist, so ist die Geschwindigkeit ihre größte Schwäche. Im fünften Kapitel wird gezeigt, wie die Monte-Carlo-Integration mithilfe von Techniken zur Varianzreduktion oder durch den Einsatz von Quasizufallszahlen beschleunigt werden kann. Abschließend wird ein Modell vorgestellt, dass es Dartspielerinnen und -spielern ermöglicht, in Abhängigkeit von ihrer Spielstärke, den optimalen Zielpunkt zu finden.
Abstract (eng)
Integrating using randomness, that is what the Monte Carlo integration does. This diploma thesis deals with the theoretical and practical aspects of this special kind of numerical integration. Special attention is given to the implementation of this method of numerical integration in Mathematica, which is explained in detail using multiple examples. The first two chapters provide the foundation of the thesis. Firstly, some important results from the field of probability theory are presented. Secondly, the generation of random numbers and random vectors is discussed. In chapter three, based on the two previous chapters, (crude) Monte Carlo Integration is introduced. Additionally, an interesting special case called hit-or-miss Monte Carlo integration, a further technique to generate randomness, and the accuracy of this integration method are discussed in this main chapter. In chapter four, Monte Carlo integration and the trapezoidal rule are compared in order to identify their advantages and disadvantages. While universal applicability is certainly the greatest strength of this method, speed is its greatest weakness. Chapter five shows how Monte Carlo integration can be accelerated with variance reduction or the use of quasi-random sequences. Finally, a probabilistic model is presented which allows darts players to find the ideal spot to aim for depending on their skills.
Keywords (eng)
Monte Carlonumerical integrationtrapezoidal rulerandom numbersMathematicadartsvariance reduction
Keywords (deu)
Monte-Carlonumerische IntegrationTrapezregelZufallszahlenMathematicaDartsVarianzreduktion
Subject (deu)
Subject (deu)
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Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
108
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