Die Vermittlung von langfristig verfügbaren und flexibel anwendbaren mathematischen Konzepten der Differentialrechnung im schulischen Kontext setzt eine grundlegende didaktische Analyse geeigneter Theorien bezüglich der Wissensvermittlung, der jeweiligen Inhalte und der Methodik voraus. Eine solche Analyse wird im Rahmen dieser Diplomarbeit vollzogen, um im Anschluss geeignete handlungsorientierte Planungen zu Kapiteleinstiegen der Differentialrechnung erstellen zu können.
Das erste Kapitel behandelt die gegenseitige Abhängigkeit von Wissensformen. Hierfür werden mehrere diesbezügliche Theorien, vor allem jene der APOS-Theorie, in der sogenannten Prozess-Objekt-Dualität verknüpft, welche das rein prozedurale, algorithmische Wissen als Voraussetzung für das statische, konzeptuelle sehen. Zusätzlich sehen sie die letztere Wissensform als Grundlage für neue algorithmische Vorgänge – eine aufeinander aufbauende Spirale von sogenannten Aktionen und Objekten entsteht.
Das zweite Kapitel widmet sich der Analyse diverser Methoden hinsichtlich ihrer Kompatibilität bezüglich der erarbeiteten Theorien und der Handlungsorientierung. Mithilfe einer grundlegenden und detaillierteren Analyse, welche sich auf zuvor entwickelte, für das Ziel dieser Diplomarbeit als sinnvoll erachtete Kriterien stützt, wurden geeignete Methoden für die im vierten Kapitel vorgestellte Unterrichtsplanung festgelegt.
Da der Schwerpunkt der Umsetzung der theoretischen Grundlage auf der Planung von Kapiteleinstiegen liegt, werden diese im dritten Kapitel analysiert. Zusätzlich dient dieses Kapitel der theoretischen Aufarbeitung der Überprüfung des zuvor festgelegten Zieles – der Entwicklung von mathematischen Konzepten.
Der letzte Teil diese Diplomarbeit widmet sich der Analyse und der Diskussion verschiedener Zugänge und Grundvorstellungen der Differentialrechnung, welche anschließend unter Berücksichtigung der Ergebnisse der vorhergegangenen Kapitel zu drei Kapiteleinstiegen von Unterkapiteln der Differentialrechnung verbunden werden.
Die daraus resultierenden Planungen lassen erkennen, dass die Umsetzung des Erwerbs von langfristig verfügbaren und flexibel anwendbaren mathematischen Konzepten viel Engagement und vor allem Zeit benötigt. Es bedarf der passenden Auswahl von Methoden, der genauen Analyse des Inhaltes, Kriterien für die Festlegung der aktuell erreichten mentalen Ebene der APOS-Theorie seitens der SchülerInnen und geeignete Aufgabenstellungen, um den Lernenden den Übergang in eine höhere Ebene überhaupt zu ermöglichen.

Teaching long-term available and flexible exercisable mathematical concepts of differential calculus in school context requires a basic didactical analysis of adequate theories concerning the transfer of knowledge, the content and the methodology. This will be given within this Diploma Thesis. The last chapter includes the development of three activityoriented subchapter-introductions related to differential calculus.
The first chapter contains the mutual dependency of contrary types of knowledge. Therefore, several theories, especially the APOS-Theory, will be connected to the so-called Process-Object-Duality which understands pure procedural, algorithmic knowledge as a requirement for a static and conceptual one. Furthermore, the conceptual knowledge can be seen as the basis for new algorithms – a constructive helix of so-called Actions and Objects develops.
The following chapter is concerned with the analysis of diverse methods in consideration of the aforementioned theories and their activity-orientation. Due to a basic and detailed analysis based on the previously developed criteria, appropriate methods for subchapterintroductions could be defined.
The third chapter provides the main part of the implementation of the theoretical basis – the subchapter-introduction and the possibilities to control the development of mathematical concepts.
The last part of this Diploma Thesis sheds light on the analysis and the discussion of diverse approaches and basic ideas concerning differential calculus. The combination of these basic ideas with the results of the former chapters gives rise to three subchapterintroductions which should provide the optimal prerequisites to develop mathematical concepts.
The resulting subchapter-introductions show that the implementation of the acquisition of long-term available and flexible exercisable mathematical concepts of differential calculus in school context needs a lot of dedication and time. Besides the selection of appropriate methods, the accurate analysis of the content, and the definition of criteria for the currently reached level regarding the APOS-Theory, the selection of right tasks is indispensable to enable the students to reach a higher level.