Title (eng)
Factorization of second-order strictly hyperbolic operators with non-smooth coefficients and generalized microlocal approximations
Parallel title (deu)
Faktorisierung von strikt hyperbolischen Operatoren zweiter Ordnung mit nicht-glatten Koeffizienten und verallgemeinerte mikrolokale Approximationen
Author
Martina Glogowatz
Advisor
Günther Hörmann
Assessor
Stevan Pilipovic
Dimitri Scarpalezos
Abstract (deu)
Im ersten Teil dieser Arbeit befassen wir uns mit der Faktorisierung von strikt hyperbolischen partiellen Differentialoperatoren zweiter Ordnung wobei die Koeffizienten durch gewisse verallgemeinerte logarithmische slow-scale Funktionen gegeben sind. Davon ausgehend zeigen wir eine mikrolokale Diagonalisierung des verallgemeinerten partiellen Differentialoperators. Wir erhalten daher ein gekoppeltes System von zwei Pseudodifferentialgleichungen erster Ordnung in einem mikrolokalen Setting. Unter der Annahme, dass die volle
Wellengleichung mikrolokal regulär auf einem hinreichend schönen Gebiet des Phasenraums ist, kann das Wellengleichungenproblem durch zwei One-Way Gleichungen approximativ beschrieben werden. Im Speziellen enthalten diese approximierenden One-Way Operatoren einen zusätzlichen dissipativen Term, der es erlaubt, ungewollte Singularitäten zu unterdrücken. Im Anschluss daran zeigen wir die Wohldefiniertheit der entsprechenden Cauchy Probleme für die approximierenden One-Way Gleichungen mit dissipativem Term.
Als Motivation für den zweiten Teil dieser Arbeit dient der Versuch die Bedingungen an die Koeffizienten aus dem ersten Teil abzuschwächen. Dazu betrachten wir einerseits einen, im Vergleich zu oben, leicht modifizieren strikt hyperbolischen Differentialoperator aber andererseits sind die Koeffizienten nunmehr durch logarithmisch skalierte Funktionen gegeben. Um die verlorene Regularität der Koeffizienten auszugleichen modellieren wir die Gleichungen nun in einem semiklassischen Sinne. Als erstes Resultat erhalten wir eine Faktorisierung
des nun semiklassischen Operators in ein Produkt von zwei Operatoren erster Ordnung auf einem geeigneten Gebiet des Phasenraums. Anschließend zeigen wir eine mikrolokale Diagonalisierung des semiklassischen Operators und der damit verbundenen Möglichkeit eines approximierenden gekoppelten Systems von zwei mikrolokalen semiklassischen Pseudodifferentialgleichungen erster Ordnung - nun aber nur mehr auf sogenannten unendlichen Punkten des entsprechenden Gebiets des Phasenraums.
Abstract (eng)
In the first part we give a factorization procedure for a strictly hyperbolic partial differential operator of second order with logarithmic slow scale coefficients. From this we can microlocally diagonalize the full wave operator which results in a coupled system of two first-order pseudodifferential equations in a microlocal sense. Under the assumption that the full wave equation is microlocal regular in a fixed domain of the phase space, we can approximate the problem by two one-way wave equations where a dissipative term is added to suppress singularities outside the given domain. We obtain well-posedness of the corresponding Cauchy problems for the approximated one-way wave equations with a
dissipative term.
In the second part of this thesis we study strictly hyperbolic partial differential operators of second order with less regular coefficients as in the first part. After modeling them as semiclassical Colombeau equations of log-type we provide a factorization procedure on some time-space-frequency domain. As a result the operator is written as a product of two semiclassical first-order constituents of log-type which approximates the modeled operator microlocally at infinite points. We then present a diagonalization method so that microlocally at infinity the governing equation is equal to a coupled system of two semiclassical first-order strictly hyperbolic pseudodifferential equations. Furthermore we compute the coupling effect.
Keywords (eng)
generalized functionsfactorization of pseudodifferential operatorsgeneralized microlocal analysiswell-posedness of approximating one-way equations
Keywords (deu)
verallgemeinerte FunktionenFaktorisierung von Pseudodifferentialoperatorenverallgemeinerte mikrolokale AnalysisWohldefiniertheit von approximierenden One-way Gleichungen
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
ii, 120 Seiten : Diagramme
Number of pages
130
Study plan
Dr.-Studium der Naturwissenschaften Mathematik
[UA]
[091]
[405]
Association (deu)
Title (eng)
Factorization of second-order strictly hyperbolic operators with non-smooth coefficients and generalized microlocal approximations
Parallel title (deu)
Faktorisierung von strikt hyperbolischen Operatoren zweiter Ordnung mit nicht-glatten Koeffizienten und verallgemeinerte mikrolokale Approximationen
Author
Martina Glogowatz
Abstract (deu)
Im ersten Teil dieser Arbeit befassen wir uns mit der Faktorisierung von strikt hyperbolischen partiellen Differentialoperatoren zweiter Ordnung wobei die Koeffizienten durch gewisse verallgemeinerte logarithmische slow-scale Funktionen gegeben sind. Davon ausgehend zeigen wir eine mikrolokale Diagonalisierung des verallgemeinerten partiellen Differentialoperators. Wir erhalten daher ein gekoppeltes System von zwei Pseudodifferentialgleichungen erster Ordnung in einem mikrolokalen Setting. Unter der Annahme, dass die volle
Wellengleichung mikrolokal regulär auf einem hinreichend schönen Gebiet des Phasenraums ist, kann das Wellengleichungenproblem durch zwei One-Way Gleichungen approximativ beschrieben werden. Im Speziellen enthalten diese approximierenden One-Way Operatoren einen zusätzlichen dissipativen Term, der es erlaubt, ungewollte Singularitäten zu unterdrücken. Im Anschluss daran zeigen wir die Wohldefiniertheit der entsprechenden Cauchy Probleme für die approximierenden One-Way Gleichungen mit dissipativem Term.
Als Motivation für den zweiten Teil dieser Arbeit dient der Versuch die Bedingungen an die Koeffizienten aus dem ersten Teil abzuschwächen. Dazu betrachten wir einerseits einen, im Vergleich zu oben, leicht modifizieren strikt hyperbolischen Differentialoperator aber andererseits sind die Koeffizienten nunmehr durch logarithmisch skalierte Funktionen gegeben. Um die verlorene Regularität der Koeffizienten auszugleichen modellieren wir die Gleichungen nun in einem semiklassischen Sinne. Als erstes Resultat erhalten wir eine Faktorisierung
des nun semiklassischen Operators in ein Produkt von zwei Operatoren erster Ordnung auf einem geeigneten Gebiet des Phasenraums. Anschließend zeigen wir eine mikrolokale Diagonalisierung des semiklassischen Operators und der damit verbundenen Möglichkeit eines approximierenden gekoppelten Systems von zwei mikrolokalen semiklassischen Pseudodifferentialgleichungen erster Ordnung - nun aber nur mehr auf sogenannten unendlichen Punkten des entsprechenden Gebiets des Phasenraums.
Abstract (eng)
In the first part we give a factorization procedure for a strictly hyperbolic partial differential operator of second order with logarithmic slow scale coefficients. From this we can microlocally diagonalize the full wave operator which results in a coupled system of two first-order pseudodifferential equations in a microlocal sense. Under the assumption that the full wave equation is microlocal regular in a fixed domain of the phase space, we can approximate the problem by two one-way wave equations where a dissipative term is added to suppress singularities outside the given domain. We obtain well-posedness of the corresponding Cauchy problems for the approximated one-way wave equations with a
dissipative term.
In the second part of this thesis we study strictly hyperbolic partial differential operators of second order with less regular coefficients as in the first part. After modeling them as semiclassical Colombeau equations of log-type we provide a factorization procedure on some time-space-frequency domain. As a result the operator is written as a product of two semiclassical first-order constituents of log-type which approximates the modeled operator microlocally at infinite points. We then present a diagonalization method so that microlocally at infinity the governing equation is equal to a coupled system of two semiclassical first-order strictly hyperbolic pseudodifferential equations. Furthermore we compute the coupling effect.
Keywords (eng)
generalized functionsfactorization of pseudodifferential operatorsgeneralized microlocal analysiswell-posedness of approximating one-way equations
Keywords (deu)
verallgemeinerte FunktionenFaktorisierung von Pseudodifferentialoperatorenverallgemeinerte mikrolokale AnalysisWohldefiniertheit von approximierenden One-way Gleichungen
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
130
Association (deu)
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