Characterizations of Gabor Frames

Sarah Koppensteiner

doi:10.25365/thesis.50275

You are here: University of Vienna PHAIDRA Detail o:1340675

Title (eng)

Characterizations of Gabor Frames

Parallel title (deu)

Charakterisierungen von Gaborframes

Author

Sarah Koppensteiner

Advisor

Karlheinz Gröchenig

Assessor

Karlheinz Gröchenig

Abstract (deu)

Gaborframes liefern stabile, diskrete Zeit-Frequenz-Darstellungen in L^2(R^d). Es ist daher von großem Interesse, Paare (g, Λ), bestehend aus einer L^2-Funktion g und einem Zeit-Frequenz-Gitter Λ, zu bestimmen, die einen Frame erzeugen. Die Fortschritte der Gaboranalysis der letzten dreißig Jahre lieferten zahlreiche Charakterisierungen der Frameungleichung für Gaborsysteme. Wir geben eine vollständige Darstellung bekannter Resultate. Die Neuheit liegt in der systematischen Herangehensweise: Das zentrale Resultat ist die Dualitätstheorie für Gaborframes über beliebige Gitter. Wir entwickeln daher die Dualitätstheorie zuerst und erhalten dann daraus alle Charakterisierungen für separable Gitter als einfache Folgerungen. Das wohlbekannte Kriterium von Ron und Shen folgt durch ein einfaches Fourierreihenargument. Im Fall eines rationalen Gitters liefert eine weitere Periodisierung die Resultate von Zeevi und Zibulski, in denen die Frameeigenschaft mit den Spektraleigenschaften einer Familie von endlichdimensionalen Matrizen verknüpft wird. Für M^1-Fenster liefert die Kombination der Dualitätstheorie mit Wieners Lemma ein Dutzend zusätzliche Charakterisierungen ohne Ungleichungen, das heißt als Eigenschaften der zum Gaborsystem gehörenden kanonischen Operatoren.

Abstract (eng)

Gabor frames provide stable, discrete time-frequency representations in L^2(R^d). It is therefore of great interest to determine pairs (g, Λ), consisting of an L^2-function g and a time-frequency lattice Λ, that generate a frame. The advances of Gabor analysis in the last thirty years led to numerous characterizations of the frame inequality for Gabor systems. We give a comprehensive account of known results. The novelty lies in the systematic approach: The central result is the duality theory for Gabor frames over arbitrary lattices. We therefore develop the duality theory first and then obtain all characterizations for separable lattices as easy consequences. The well-known criterion of Ron and Shen follows by a simple Fourier series argument. In the case of a rational lattice, further periodization yields the results of Zeevi and Zibulski, where the frame property is linked to the spectral properties of a family of finite dimensional matrices. For M^1-windows, the combination of the duality theory with Wiener's lemma yields a dozen additional characterizations without inequalities. All of them are expressed as properties of the canonical operators associated to the Gabor system.

Keywords (eng)

Gabor FramesLatticeShort-Time Fourier Transform

Keywords (deu)

GaborframesGitterKurzzeit-Fouriertransformation

Subject (deu)

Harmonische Analyse

Subject (deu)

Funktionalanalysis

Subject (deu)

Angewandte Mathematik

Type (deu)

Masterarbeit