Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Spektraltheorie des komplexen Laplaceoperators mit d-quer-Neumann Randbedingungen, aufgefasst als selbstadjungierter Operator wirkend auf dem Raum der quadratintegrablen Differentialformen einer Hermiteschen Mannigfaltigkeit. Das zugehörige Randwertproblem, das d-quer-Neumann Problem, tritt in natürlicher Weise bei der Behandlung der (inhomogenen) Cauchy--Riemann Gleichungen im Rahmen der (L^2-) Hodge-Theorie auf. Durch diesen Zusammenhang geben spektraltheoretische Eigenschaften des komplexen Laplaceoperators Einsichten in die Lösbarkeit der Cauchy-Riemann Gleichungen und, in weiterer Folge, in die Konstruktion von holomorphen Funktionen (allgemeiner: Schnitten von holomorphen Vektorbündeln) mit vorgeschriebenen Eigenschaften. Zum komplexen Laplaceoperator gehört der elliptische Dolbeault-Komplex, eine Verallgemeinerung der Wirtingerableitung aus der komplexen Analysis einer Veränderlichen, und die L^2-Realisierung mit d-quer-Neumann Randbedingungen entspricht der schwachen Erweiterung des Dolbeault-Komplexes. Aus diesem Grund behandeln wir hier auch Teile der Spektraltheorie von allgemeinen selbstadjungierten Erweiterung von elliptischen Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Für viele der Resultate betrachten wir das d-quer-Neumann Problem auf Kähler-Mannigfaltigkeiten mit beschränkter Geometrie, was es uns erlaubt, bekannte Sätze über das d-quer-Neumann Problem auf (Gebieten im) C^n zu verallgemeinern. Einer dieser Sätze besagt, dass sich die Diskretheit des Spektrums des komplexen Laplaceoperators im Dolbeault-Komplex nach oben fortpflanzt falls gewisse Annahmen an die Krümmung und den Rand des betrachteten Gebietes gemacht werden. Daher lassen sich notwendige Bedigungen für die Diskretheit des Spektrums auf dem oberen Ende des Dolbeault-Komplexes formulieren, wo der komplexe Laplaceoperator eine einfachere Form annimmt, die wir mit Hilfe von Methoden der Theorie von Schrödingeroperatoren studieren. Im letzten Kapitel betrachten wir das d-quer-Neumann Problem auf dem Produkt zweier Hermitescher Mannigfaltigkeiten und beschreiben das (wesentliche) Spektrum des komplexen Laplaceoperators durch das Spektrum der Laplaceoperatoren der beiden Faktoren.

This thesis is concerned with questions regarding the spectral theory of the Dolbeault Laplacian with d-bar-Neumann boundary conditions, considered as a self-adjoint operator acting on the space of square integrable differential forms on a Hermitian manifold. The corresponding boundary value problem, called the d-bar-Neumann problem, arises naturally in the investigation of the (inhomogeneous) Cauchy--Riemann equations through the methods of (L^2-) Hodge theory. In this way, spectral properties of the Dolbeault Laplacian give information on the solvability of the Cauchy--Riemann equations and, by extension, on the construction of holomorphic functions (or, more generally, sections of holomorphic vector bundles) with prescribed properties. The Dolbeault Laplacian is the Laplacian of the elliptic Dolbeault complex, which generalizes the Wirtinger derivative of single variable complex analysis, and its L^2 realization with d-bar-Neumann boundary conditions corresponds to the weak extension of the Dolbeault complex. Therefore, we also discuss in detail aspects of the spectral theory of self-adjoint extensions of elliptic differential operators in a general setting. For a lot of the results, we consider the d-bar-Neumann problem on Kähler manifolds with some bounded geometry, in order to show that previously known theorems in the setting of (domains in) C^n continue to hold more generally. One of these is that the discreteness of spectrum of the Dolbeault Laplacian \enquote{percolates} up the Dolbeault complex, provided some boundary and curvature assumptions are made. Therefore, necessary conditions for the discreteness of spectrum can be studied on the top end of the Dolbeault complex, where the Laplacian reduces to a somewhat more tractable operator, which we analyze with methods from Schrödinger operator theory. In the last chapter, we consider the d-bar-Neumann problem for the product of two Hermitian manifolds, and describe the (essential) spectrum of the Laplacian in terms of the spectra of the Laplacians on the individual factors.