Fusion of defects in Landau-Ginzburg models in a functorial approach

Peter Allmer

doi:10.25365/thesis.52714

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Title (eng)

Fusion of defects in Landau-Ginzburg models in a functorial approach

Parallel title (deu)

Fusion von Defekten in Landau-Ginzburg-Modellen mit einem funktoriellen Ansatz

Author

Peter Allmer

Advisor

Stefan Fredenhagen

Assessor

Stefan Fredenhagen

Abstract (deu)

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir zweidimensionale supersymmetrische Landau-Ginzburg Modelle mit Defekten darin. Diese Defekte können durch Faktorisierungen des zugehörigen Superpotentiales $W$ beschrieben werden, wenn wir sog. B-Typ Bedinguingen von den Defekten fordern. Wir beschreiben diese Faktorisierung des Superpotentiales in Termen von Modulhomomorphismen über einem $\mathbb{Z}_2$ graduierten Modul eines Polynomringes $R$, diese speziellen Homomorphismsen werden im Folgenden Matrixfaktorisierungen genannt. Betrachten wir einen Funktor $U: R$-$mod_f \to R'$-$mod_f$, wobei $R$-$mod_f$ eine $R$-Modulkategorie bezeichnet in der die zugehörigen Morphismen durch die Modulhomomorphismen gegeben sind, ist es unser Ziel eine Kategorie aus diesen Funktoren zu bilden. Genauer wollen wir Relationen zwischen den Morphismen der Funktoren und der Morphismen zwischen Matrixfaktorisierungen, welche durch diese Funktoren induziert werden, untersuchen. Darum definieren wir einen Funktor $\Xi$ zwischen der Kategorie der Fusionsfunktoren und der Kategorie Matrixfaktorisierungen. Konkret stellen wir uns die Frage ist $\Xi$ surjektiv und oder injektiv auf den Morphismen? Es stellt sich heraus dass $\Xi$ im Fall $R=\mathbb{C}[x]$ surjektiv aber nicht injektiv ist. Für den Fall $R=\mathbb{C}[x,y]$ gibt es ähnliche Resultate, wobei wir hier aber einschränkende Bedingungen fordern müssen. Es gelang für beide Fälle die zugehörigen Kerne in einem wichtigen Spezialfall zu bestimmen.

Abstract (eng)

In thesis we consider two-dimensional supersymmetric Landau-Ginzburg models with defects in it. When we impose B-type gluing conditions, a defect is described by a factorisation of the corresponding superpotential $W$. We represent this factorisation in a module homomorphism framework of $\mathbb{Z}_2$-graded modules over a polynomial ring $R$, they are called matrix factorisations. By considering functors $U: R$-$mod_f \to R'$-$mod_f$, where $R$-$mod_f$ denotes a $R$-module category with the morphisms given by the module homomorphisms, our aim is to construct a category of these functors and to find relations between the morphisms in the functor category and morphisms between matrix factorisations which are induced by the functors between the module categories. For this purpose we define a functor $\Xi$. It turns out that this functor is surjective on the morphism spaces in the case $R=\mathbb{C}[x]$ but fails to be injective. There are similar results in the case $R=\mathbb{C}[x,y]$ but we can show surjectivity only in special cases. We also managed to determine the kernel of $\Xi$ in one special case.

Keywords (eng)

categorymatrixfactorisationfunctormodulefusion

Keywords (deu)

KategorieMatrixfaktorisierungFunktorModulFusion

Subject (deu)

Mathematische Methoden der Physik

Subject (deu)

Kategorientheorie

Subject (deu)

Theoretische Physik: Sonstiges

Subject (deu)

Ideale, Ringe, Moduln, Algebren