Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting

Arkadij Bojko

doi:10.25365/thesis.52820

Title (eng)

Parallel title (deu)

Stabilitätkondizionen auf Köchern und semistabile nichtkommutative Kurven

Parallel title (eng)

Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting

Author

Arkadij Bojko

Advisor

Ludmil Katzarkov

Co-Advisor

George Dimitrov

Assessor

Ludmil Katzarkov

Abstract (deu)

Der Begriff von Stabilitätkondizionen auf triangulierten Kategorien wurde von T. Bridgeland in "Stability conditions on triangulated categories" eingeführt. Zusätzlich haben wir mit den nicht-kommutativen Kurven, die von G. Dimitrov und L. Katzarkov in "Some new categorical invariants" definiert wurden, gearbeitet. Als nicht-kommutative Kurven werden hier bestimmte Äquivalenzklassen von volltreuen exakten Funktoren in die entsprechende triangulierte Kategorie bezeichnet. Ihre Semistabilität hängt von der Stabilitätkondizion der Kategorie, für die sie betrachtet werden. Wir haben uns mit der derivierten Kategorie von der abelschen Kategorie der Represäntationen des azyklischen dreieckigen Köchers beschäftigt. Wir haben die bekannte Aussage wiederholt, die sagte, dass es in dieser Kategorie genau 2 nicht-kommutative Kurven mit Genus 1 gibt. Weiter haben wir solche Stabilitätkondizionen konstruiert, sodass alle möchliche Kombinationen von diesen nicht-kommutativen Kurven semistabil werden. Das haben wir unter der Anwendung von ausgezeichneten Sammlungen in der deririverten Kategorie erreicht, indem wir den ausgezeichneten Objekten dieser Sammlung bestimmte komplexe Zahlen zugeordnet haben. Durch Variation von diesen Komplexen Zahlen haben wir alle oben besprochene Stabilitätkondizionen konstruiert. In der Zukunft möchte man genauer das "wall-crossing" von der Anzahl der semistabilen nicht-kommutativen Kurven betrachten, wenn man die Stabilitätkondizionen variert.

Abstract (eng)

The notion of stability conditions on triangulated categories was introduced by T. Bridgeland in "Stability conditions on triangulated categories". Additionally, we worked with the notion of non-commutative curve counting introduced by G. Dimitrov and L. Katzarkov in "Some new categorical invariants". Here, non-commutative curves of a certain genus l correspond to some equivalence classes of fully faithful exact functors into the triangulated category. Whether a non-commutative curve is semistable, depends on the stability condition of the triangulated category. We considered the derived category of the abelian category of representations of an acyclic triangular quiver. We recalled that there exist exactly two non-commutative curves of genus 1 in this category, and we constructed such stability conditions, such that both of these curves are semistable, each one of them is semistable while the other isn't, and none of them are semistable. This was achieved using exceptional collections in the derived category and assigning complex values to their exceptional objects. Varying these complex values, we were able to construct different stability conditions corresponding to all the above cases. For future research, one would like to observe the wall crossing of the number of semistable non-commutative curves, as one varies the stability conditions, more precisely.

Keywords (eng)

triangulated categoriesderived categoriesstability conditionsnon-commutative curve countingnon-commutativesemistablerepresentations of quivers

Keywords (deu)

triangulierte Kategorienderivierte KategorienStabilitätbedingungenStabilitätkondizionennicht-kommutativeKurvensemistabilRepresentationen von Köchern

Subject (deu)

Kategorientheorie

Subject (deu)

Kombinatorik, Graphentheorie

Subject (deu)

Algebra: Sonstiges

Subject (deu)

Geometrie: Allgemeines

Subject (deu)

Ideale, Ringe, Moduln, Algebren

Subject (deu)

Topologie: Allgemeines

Subject (deu)

Lineare Algebra, multilineare Algebra

Subject (deu)

Algebraische Topologie

Type (deu)

Masterarbeit

Persistent identifier

https://phaidra.univie.ac.at/o:1345089

DOI

10.25365/thesis.52820

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-22034.35464.794854-2

URI

https://utheses.univie.ac.at/detail/46659

Extent (deu)

34 Seiten

Number of pages

35

Study plan

Masterstudium Mathematik

[UA]

[066]

[821]

Association (deu)

Fakultät für Mathematik

Title (eng)

Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting

Parallel title (deu)

Stabilitätkondizionen auf Köchern und semistabile nichtkommutative Kurven

Parallel title (eng)

Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting

Author

Arkadij Bojko

Abstract (deu)

Der Begriff von Stabilitätkondizionen auf triangulierten Kategorien wurde von T. Bridgeland in "Stability conditions on triangulated categories" eingeführt. Zusätzlich haben wir mit den nicht-kommutativen Kurven, die von G. Dimitrov und L. Katzarkov in "Some new categorical invariants" definiert wurden, gearbeitet. Als nicht-kommutative Kurven werden hier bestimmte Äquivalenzklassen von volltreuen exakten Funktoren in die entsprechende triangulierte Kategorie bezeichnet. Ihre Semistabilität hängt von der Stabilitätkondizion der Kategorie, für die sie betrachtet werden. Wir haben uns mit der derivierten Kategorie von der abelschen Kategorie der Represäntationen des azyklischen dreieckigen Köchers beschäftigt. Wir haben die bekannte Aussage wiederholt, die sagte, dass es in dieser Kategorie genau 2 nicht-kommutative Kurven mit Genus 1 gibt. Weiter haben wir solche Stabilitätkondizionen konstruiert, sodass alle möchliche Kombinationen von diesen nicht-kommutativen Kurven semistabil werden. Das haben wir unter der Anwendung von ausgezeichneten Sammlungen in der deririverten Kategorie erreicht, indem wir den ausgezeichneten Objekten dieser Sammlung bestimmte komplexe Zahlen zugeordnet haben. Durch Variation von diesen Komplexen Zahlen haben wir alle oben besprochene Stabilitätkondizionen konstruiert. In der Zukunft möchte man genauer das "wall-crossing" von der Anzahl der semistabilen nicht-kommutativen Kurven betrachten, wenn man die Stabilitätkondizionen variert.

Abstract (eng)

The notion of stability conditions on triangulated categories was introduced by T. Bridgeland in "Stability conditions on triangulated categories". Additionally, we worked with the notion of non-commutative curve counting introduced by G. Dimitrov and L. Katzarkov in "Some new categorical invariants". Here, non-commutative curves of a certain genus l correspond to some equivalence classes of fully faithful exact functors into the triangulated category. Whether a non-commutative curve is semistable, depends on the stability condition of the triangulated category. We considered the derived category of the abelian category of representations of an acyclic triangular quiver. We recalled that there exist exactly two non-commutative curves of genus 1 in this category, and we constructed such stability conditions, such that both of these curves are semistable, each one of them is semistable while the other isn't, and none of them are semistable. This was achieved using exceptional collections in the derived category and assigning complex values to their exceptional objects. Varying these complex values, we were able to construct different stability conditions corresponding to all the above cases. For future research, one would like to observe the wall crossing of the number of semistable non-commutative curves, as one varies the stability conditions, more precisely.

Keywords (eng)

triangulated categoriesderived categoriesstability conditionsnon-commutative curve countingnon-commutativesemistablerepresentations of quivers

Keywords (deu)

triangulierte Kategorienderivierte KategorienStabilitätbedingungenStabilitätkondizionennicht-kommutativeKurvensemistabilRepresentationen von Köchern

Subject (deu)

Kategorientheorie

Subject (deu)

Kombinatorik, Graphentheorie

Subject (deu)

Algebra: Sonstiges

Subject (deu)

Geometrie: Allgemeines