Title (deu)
Einige Integralbegriffe in ihrer historischen Entwicklung
Author
Sarah Waisnix
Advisor
Günther Hörmann
Assessor
Günther Hörmann
Abstract (deu)
Die vorliegende Diplomarbeit widmet sich der Entstehungsgeschichte der Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Analysis. Das Messen von Längen, Flächen und Volumina bilden das Grundkonzept der Mathematik, die Ursprünge dieser Theorie sind schon in der Antike zu finden. Das erste Kapitel erläutert wie mit Archimedes' mechanischer Methode Flächen von Parabelsegmenten berechnet werden konnten. Danach folgt ein großer Zeitsprung ins 19. Jahrhundert und der Integralbegriff von Cauchy wird eingeführt. Mit ihm bricht auch ein neues Zeitalter der mathematischen Beweisführung an. Auf das Riemann-Integral und dessen Unzulänglichkeiten wird ebenso eingegangen.
Den Hauptteil der Arbeit stellt jedoch die Entwicklung der Maßtheorie zu Beginn des 20. Jahrhunderts, insbesondere die Einführung des Lebesgue-Maßes und die Definition des Lebesgue-Integrals, dar. Lebesgues' Vorgehensweise unterschied sich fundamental von jener seiner Kolleginnen und Kollegen zuvor, da sie auf der Mengenlehre aufbaut. Anhand der Eigenschaften und Grenzwertsätze des Lebesgue'schen Integralbegriffs wird im Laufe der Arbeit deutlich, wie wichtig er für die moderne Analysis und andere Teilgebiete der Mathematik ist.
Abstract (eng)
The diploma thesis at hand describes the development of the theory of integration, a subarea of analysis. Measuring lengths, areas and volumes are the basis of mathematics, hence the origins of the theory go back to the ancient world. In the first chapter, it is investigated how Archimedes' method to compute the area of a segment of a parabola works.
After a leap forward in time, the integral of Cauchy is defined and with it a new era of mathematics began. The Riemann-Integral and its shortcomings are also discussed.
But the main part of the thesis is the development of measure theory at the beginning of the 20th century. Especially the Lebesgue measure and the integral of Lebesgue are being considered, since his approach was completely different from the ones of his collegues before. The new approach is based on set theory. Finally, the properties and convergence theorems show the importance of the work of Lebesgue for modern mathematics.
Keywords (eng)
integrationLebesgueCauchyRiemannmeasureconvergence theorems
Keywords (deu)
IntegrationLebesgueCauchyRiemannMaßGrenzwertsätze
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
57 Seiten : Diagramme
Number of pages
194
Study plan
Lehramtsstudium UF Psychologie und Philosophie UF Mathematik
[UA]
[190]
[299]
[406]
Association (deu)
Title (deu)
Einige Integralbegriffe in ihrer historischen Entwicklung
Author
Sarah Waisnix
Abstract (deu)
Die vorliegende Diplomarbeit widmet sich der Entstehungsgeschichte der Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Analysis. Das Messen von Längen, Flächen und Volumina bilden das Grundkonzept der Mathematik, die Ursprünge dieser Theorie sind schon in der Antike zu finden. Das erste Kapitel erläutert wie mit Archimedes' mechanischer Methode Flächen von Parabelsegmenten berechnet werden konnten. Danach folgt ein großer Zeitsprung ins 19. Jahrhundert und der Integralbegriff von Cauchy wird eingeführt. Mit ihm bricht auch ein neues Zeitalter der mathematischen Beweisführung an. Auf das Riemann-Integral und dessen Unzulänglichkeiten wird ebenso eingegangen.
Den Hauptteil der Arbeit stellt jedoch die Entwicklung der Maßtheorie zu Beginn des 20. Jahrhunderts, insbesondere die Einführung des Lebesgue-Maßes und die Definition des Lebesgue-Integrals, dar. Lebesgues' Vorgehensweise unterschied sich fundamental von jener seiner Kolleginnen und Kollegen zuvor, da sie auf der Mengenlehre aufbaut. Anhand der Eigenschaften und Grenzwertsätze des Lebesgue'schen Integralbegriffs wird im Laufe der Arbeit deutlich, wie wichtig er für die moderne Analysis und andere Teilgebiete der Mathematik ist.
Abstract (eng)
The diploma thesis at hand describes the development of the theory of integration, a subarea of analysis. Measuring lengths, areas and volumes are the basis of mathematics, hence the origins of the theory go back to the ancient world. In the first chapter, it is investigated how Archimedes' method to compute the area of a segment of a parabola works.
After a leap forward in time, the integral of Cauchy is defined and with it a new era of mathematics began. The Riemann-Integral and its shortcomings are also discussed.
But the main part of the thesis is the development of measure theory at the beginning of the 20th century. Especially the Lebesgue measure and the integral of Lebesgue are being considered, since his approach was completely different from the ones of his collegues before. The new approach is based on set theory. Finally, the properties and convergence theorems show the importance of the work of Lebesgue for modern mathematics.
Keywords (eng)
integrationLebesgueCauchyRiemannmeasureconvergence theorems
Keywords (deu)
IntegrationLebesgueCauchyRiemannMaßGrenzwertsätze
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
194
Association (deu)
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