In dieser Arbeit geht es um die Wasserstein-Distanz, die die optimalen Transportkosten zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen misst. Diese Distanz ist stetig und eine Konvergenz in der Wasserstein-Distanz ist äquivalent zu einer schwachen Konvergenz im Wassersteinraum. Darüber hinaus ist eine Variante der Wasserstein-Distanz, die Earth-Mover-Distanz, überall stetig und fast überall differenzierbar für die Parameter $\theta$, wenn die Distanz zwischen einer Verteilung $p$ und der Verteilung eines feedforward-Netzes, $p_\theta$, betrachtet wird. Zusätzlich wird in dieser Arbeit die Anwendung der Earth-Mover Distanz in Wasserstein Generative Adversarial Networks (WGANs) beschrieben. Diese Variante der Generative Adversarial Networks (GANs) ist während des Trainings vergleichsweise stabil und ihre Kostenfunktion korreliert stark mit der Qualität der generierten Daten. Diese Arbeit basiert auf dem Buch ‘Optimal Transport, old and new’ von Villani und den Papern ‘NIPS 2016 Tutorial: Generative Adversarial Networks’ von Goodfellow und ‘Wasserstein GAN’ von Arjovsky et al..

This thesis presents the Wasserstein distance which measures the optimal cost of the transport between two probability measures. This distance metrizes the weak convergence in the Wasserstein space and is continuous. Moreover, a Wasserstein variant, called the Earth-Mover distance, is continuous everywhere and differentiable a. e. in parameters $\theta$ when measuring the distance between $p$ and $p_\theta$ for $p_\theta$ being the distribution of a feedforward neural network $g_\theta$. In addition the application of the Earth-Mover distance in Wasserstein Generative Adversarial Networks (WGANs) is shown. This variant of Generative Adversarial Networks (GANs) is comparatively stable throughout its training process and provides a cost which is strongly correlated with the quality of the generated samples. This thesis is mainly based on the book ‘Optimal Transport, old and new’ of Villani and the papers ‘NIPS 2016 Tutorial: Generative Adversarial Networks’ of Goodfellow and ‘Wasserstein GAN’ of Arjovsky et al..