Title (eng)
Lorentzian comparison geometry
Parallel title (deu)
Lorentz Vergleichsgeometrie
Author
Martin Kirchberger
Advisor
Michael Kunzinger
Assessor
Michael Kunzinger
Abstract (deu)
Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit einer verallgemeinerten lokalen Version von Toponogov’s Satz für Dreiecksvergleiche auf semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Es wird gezeigt, dass Krümmungsschranken die Dreiecksvergleichseigenschaft implizieren, und umgekehrt, wenn die Dreiecksvergleichseigenschaft für alle Punkte in einer Umgebung für Riemannsche Normalkoordinaten erfüllt ist, folgen die entsprechenden Krümmungsschranken. Diese Arbeit beinhaltet eine detaillierte Untersuchung der semi-Riemannschen Modellräume konstanter Krümmung. Außerdem wird eine allgemeine Version des Kosinussatzes bewiesen, die für Flachen mit beliebiger konstanter Krümmung und Index gilt. Dieser Satz ist essentiell für den Beweis der Realisierbarkeit von Dreiecken in den Modellräumen. Klassische Sätze aus der Alexandrov-Geometrie werden auf den semi-Riemannschen Fall verallgemeinert. Weiters wird eine modifizierte Distanzfunktion eingeführt und der dadurch induzierte modifizierte Formoperator, eine selbstadjungierte lineare Abbildung, welche eine Riccati-Differentialgleichung erfüllt. Die notwendige Theorie zum Vergleich von Familien selbstadjungierter linearer Abbildungen wird entwickelt, was uns erlaubt, das Hauptresultat zu beweisen. Ausgangspunkt und Inspiration für diese Arbeit ist ein Artikel von Stephanie B. Alexander und Richard L. Bishop mit dem Titel "Lorentz and Semi-Riemannian Spaces with Alexandrov Curvature Bounds".
Abstract (eng)
This master’s thesis is dedicated to the proof of a local version of Toponogov’s triangle comparison theorem for semi-Riemannian manifolds. We show that curvature bounds on semi-Riemannian manifolds imply local triangle comparison and that if, conversely, triangle comparison holds on normal neighborhoods of each point, curvature bounds follow. As a byproduct, the constant curvature model spaces in semi-Riemannian geometry are studied in detail. Moreover, a general form of the law of cosines is derived that applies to surfaces of arbitrary curvature and index and is needed for showing realizability of triangles in the model spaces. The hinge and straightening lemmas of Alexandrov are generalized to the semi-Riemannian setting. A modified distance function and a self adjoint-modified shape operator are introduced, which satisfies a differential equation of Riccati type and a theory for comparison of families of self-adjoint linear maps is developed, which allows us to show the main result. The starting point and inspiration for this thesis is a recent paper by Stephanie B. Alexander and Richard L. Bishop titled "Lorentz and Semi-Riemannian Spaces with Alexandrov Curvature Bounds".
Keywords (eng)
semi-Riemannian geometrycomparison geometrytriangle comparisonToponogov's theoremconstant curvature
Keywords (deu)
pseudo-riemannsche GeometrieVergleichsgeometrieDreiecksvergleichSatz von Toponogovkonstante Krümmung
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1351311
rdau:P60550 (deu)
vi, 77 Seiten : Diagramme
Number of pages
97
Association (deu)
Title (eng)
Lorentzian comparison geometry
Parallel title (deu)
Lorentz Vergleichsgeometrie
Author
Martin Kirchberger
Abstract (deu)
Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit einer verallgemeinerten lokalen Version von Toponogov’s Satz für Dreiecksvergleiche auf semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Es wird gezeigt, dass Krümmungsschranken die Dreiecksvergleichseigenschaft implizieren, und umgekehrt, wenn die Dreiecksvergleichseigenschaft für alle Punkte in einer Umgebung für Riemannsche Normalkoordinaten erfüllt ist, folgen die entsprechenden Krümmungsschranken. Diese Arbeit beinhaltet eine detaillierte Untersuchung der semi-Riemannschen Modellräume konstanter Krümmung. Außerdem wird eine allgemeine Version des Kosinussatzes bewiesen, die für Flachen mit beliebiger konstanter Krümmung und Index gilt. Dieser Satz ist essentiell für den Beweis der Realisierbarkeit von Dreiecken in den Modellräumen. Klassische Sätze aus der Alexandrov-Geometrie werden auf den semi-Riemannschen Fall verallgemeinert. Weiters wird eine modifizierte Distanzfunktion eingeführt und der dadurch induzierte modifizierte Formoperator, eine selbstadjungierte lineare Abbildung, welche eine Riccati-Differentialgleichung erfüllt. Die notwendige Theorie zum Vergleich von Familien selbstadjungierter linearer Abbildungen wird entwickelt, was uns erlaubt, das Hauptresultat zu beweisen. Ausgangspunkt und Inspiration für diese Arbeit ist ein Artikel von Stephanie B. Alexander und Richard L. Bishop mit dem Titel "Lorentz and Semi-Riemannian Spaces with Alexandrov Curvature Bounds".
Abstract (eng)
This master’s thesis is dedicated to the proof of a local version of Toponogov’s triangle comparison theorem for semi-Riemannian manifolds. We show that curvature bounds on semi-Riemannian manifolds imply local triangle comparison and that if, conversely, triangle comparison holds on normal neighborhoods of each point, curvature bounds follow. As a byproduct, the constant curvature model spaces in semi-Riemannian geometry are studied in detail. Moreover, a general form of the law of cosines is derived that applies to surfaces of arbitrary curvature and index and is needed for showing realizability of triangles in the model spaces. The hinge and straightening lemmas of Alexandrov are generalized to the semi-Riemannian setting. A modified distance function and a self adjoint-modified shape operator are introduced, which satisfies a differential equation of Riccati type and a theory for comparison of families of self-adjoint linear maps is developed, which allows us to show the main result. The starting point and inspiration for this thesis is a recent paper by Stephanie B. Alexander and Richard L. Bishop titled "Lorentz and Semi-Riemannian Spaces with Alexandrov Curvature Bounds".
Keywords (eng)
semi-Riemannian geometrycomparison geometrytriangle comparisonToponogov's theoremconstant curvature
Keywords (deu)
pseudo-riemannsche GeometrieVergleichsgeometrieDreiecksvergleichSatz von Toponogovkonstante Krümmung
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1351312
Number of pages
97
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