Title (eng)
Trapping potentials and numerics for Gross-Pitaevskii type equations
Parallel title (deu)
Externe Potentiale und Numerik der Gross-Pitaevskii Gleichung
Author
Charlotte Anna Bode
Advisor
Norbert Mauser
Assessor
Norbert Mauser
Abstract (deu)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden für das Lösen der Gross-Pitaevskii Gleichung (GPG). Die GPG beschreibt die zeitliche Entwicklung von Bose-Einstein Kondensaten.
Im Rahmen dessen werden zwei numerische Methoden eingeführt, die Time Splitting Spectral Methode (TSSM) und die Backward Euler Finite Difference (BEFD) Methode, mit Hilfe derer sowohl Grundzustands- als auch Zeitevolutionsrechnungen durchgeführt werden. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der numerischen Analyse eines Box-Potentials. Insbesondere im Hinblick auf die Wahl der räumlichen Auflösung werden verschiedene Parameter eines Box-Potentials untersucht.
Außerdem wird eine Methode entwickelt, um die Zeitschritte während der Grundzustandsrechnung zu verkleinern: mit dem Ziel, mit wenig Iterationen besonders genaue Grundzustände zu erreichen. Die Grundidee basiert auf der Halbierung des Zeitschritts, sobald sich die Lösung über einen gewissen Zeitraum nicht mehr signifikant ändert.
Am Schluss werden Rechenergebnisse präsentiert, die durch eine MATLAB Implementierung erzeugt und auf einer GPU parallelisiert werden. Dabei werden die numerischen Methoden TSSM und BEFD in einer Dimension auf ihre Ordnungen in Zeit und Raum analysiert. Schließlich werden Anwendungsergebnisse in zwei und drei Dimensionen präsentiert.
Abstract (eng)
The nonlinear Schrödinger equation (NLSE) is a partial differential equation with many applications in quantum physics, nonlinear optics, etc. In this thesis, selected numerical methods to deal with dynamical as well as ground state computations of the nonlinear Schrödinger equation are presented with a special focus on the cubic NLSE, also known as the Gross-Pitaevskii equation (GPE), a standard model for Bose-Einstein Condensates (BECs). For such GPEs, we investigate numerical performance and accuracy of a Time Splitting Spectral Method (TSSM) and a Backward Euler Finite Difference (BEFD) Method.
We introduce the physics including the scaling of BECs and present some dynamical properties of GPEs. Then, the mathematical theory of the nonlinear eigenvalue problem, which models stationary states of BECs, is briefly discussed. Furthermore, we examine numerical aspects of finding ground state solutions. In particular, a normalized gradient flow method is provided to obtain ground state solutions by propagating an imaginary time. Once the theory of numerical methods is investigated, an adaptive temporal step size adjustment is established to guarantee a fast and accurate convergence of ground state solutions.
A special focus lies on the investigation of different confining potentials and their influence on numerical accuracy. Due to discontinuities arising from box potentials with sharp edges a special numerical treatment is required. A detailed analysis of box potentials and their defining parameters with respect to the required spatial resolution is proposed. We examine the influence of the layer size, the height and the nonlinearity constant on time propagation as well as ground state solutions.
Finally, we conclude by presenting numerical results for both dynamics as well as ground state computations in two and three dimensions.
Keywords (eng)
Gross-Pitaevskii equationTrapping PotentialBox PotentialHarmonic OscillatorTime Splitting Spectral MethodNormalized Gradient FlowGround StateBose-Einstein Condensate
Keywords (deu)
Gross-Pitaevskii GleichungExternes PotentialBox PotentialHarmonischer OszillatorGrundzustandBose-Einstein Kondensate
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
63 Seiten : Illustrationen, Diagramme
Number of pages
63
Study plan
Masterstudium Computational Science
[UA]
[066]
[910]
Association (deu)
Title (eng)
Trapping potentials and numerics for Gross-Pitaevskii type equations
Parallel title (deu)
Externe Potentiale und Numerik der Gross-Pitaevskii Gleichung
Author
Charlotte Anna Bode
Abstract (deu)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden für das Lösen der Gross-Pitaevskii Gleichung (GPG). Die GPG beschreibt die zeitliche Entwicklung von Bose-Einstein Kondensaten.
Im Rahmen dessen werden zwei numerische Methoden eingeführt, die Time Splitting Spectral Methode (TSSM) und die Backward Euler Finite Difference (BEFD) Methode, mit Hilfe derer sowohl Grundzustands- als auch Zeitevolutionsrechnungen durchgeführt werden. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der numerischen Analyse eines Box-Potentials. Insbesondere im Hinblick auf die Wahl der räumlichen Auflösung werden verschiedene Parameter eines Box-Potentials untersucht.
Außerdem wird eine Methode entwickelt, um die Zeitschritte während der Grundzustandsrechnung zu verkleinern: mit dem Ziel, mit wenig Iterationen besonders genaue Grundzustände zu erreichen. Die Grundidee basiert auf der Halbierung des Zeitschritts, sobald sich die Lösung über einen gewissen Zeitraum nicht mehr signifikant ändert.
Am Schluss werden Rechenergebnisse präsentiert, die durch eine MATLAB Implementierung erzeugt und auf einer GPU parallelisiert werden. Dabei werden die numerischen Methoden TSSM und BEFD in einer Dimension auf ihre Ordnungen in Zeit und Raum analysiert. Schließlich werden Anwendungsergebnisse in zwei und drei Dimensionen präsentiert.
Abstract (eng)
The nonlinear Schrödinger equation (NLSE) is a partial differential equation with many applications in quantum physics, nonlinear optics, etc. In this thesis, selected numerical methods to deal with dynamical as well as ground state computations of the nonlinear Schrödinger equation are presented with a special focus on the cubic NLSE, also known as the Gross-Pitaevskii equation (GPE), a standard model for Bose-Einstein Condensates (BECs). For such GPEs, we investigate numerical performance and accuracy of a Time Splitting Spectral Method (TSSM) and a Backward Euler Finite Difference (BEFD) Method.
We introduce the physics including the scaling of BECs and present some dynamical properties of GPEs. Then, the mathematical theory of the nonlinear eigenvalue problem, which models stationary states of BECs, is briefly discussed. Furthermore, we examine numerical aspects of finding ground state solutions. In particular, a normalized gradient flow method is provided to obtain ground state solutions by propagating an imaginary time. Once the theory of numerical methods is investigated, an adaptive temporal step size adjustment is established to guarantee a fast and accurate convergence of ground state solutions.
A special focus lies on the investigation of different confining potentials and their influence on numerical accuracy. Due to discontinuities arising from box potentials with sharp edges a special numerical treatment is required. A detailed analysis of box potentials and their defining parameters with respect to the required spatial resolution is proposed. We examine the influence of the layer size, the height and the nonlinearity constant on time propagation as well as ground state solutions.
Finally, we conclude by presenting numerical results for both dynamics as well as ground state computations in two and three dimensions.
Keywords (eng)
Gross-Pitaevskii equationTrapping PotentialBox PotentialHarmonic OscillatorTime Splitting Spectral MethodNormalized Gradient FlowGround StateBose-Einstein Condensate
Keywords (deu)
Gross-Pitaevskii GleichungExternes PotentialBox PotentialHarmonischer OszillatorGrundzustandBose-Einstein Kondensate
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
63
Association (deu)
License
- Citable links
- Other links
- Managed by
- DetailsObject typeContainerCreated02.11.2021 02:15:38 UTC
- Usage statistics-
- Metadata
- Export formats