Title (eng)
Optimal blowup stability for the energy critical wave equation
Parallel title (deu)
Optimale Blowup-Stabilität für die energiekritische Wellengleichung
Author
Ziping Rao
Advisor
Roland Donninger
Assessor
Herbert Koch
Assessor
Sebastian Herr
Abstract (deu)
Das Blow-up Verhalten nichtlinearer partieller Differentialgleichungen ist ein bekanntes Thema in mathematischer Forschung. Das bedeutet, glatte Anfangswerte mit kompaktem Träger führen zu einer Singularität einer Lösung wegen nichtlinearer Effekte. In dieser Doktorarbeit beschäftigen wir uns mit dem Blow-up von Wellengleichungen mit Potenznichtlinearität. Diese Doktorarbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil ist die Einführung. Wir geben einen Überblick über das Studium nichtlinearer Wellengleichungen, einschließlich grundlegender Werkzeuge und Methoden. Wir präsentieren auch einige bekannte Ergebnisse. Im zweiten Teil stellen wir unser Ergebnis vor. Wir beweisen, dass der ODE Blow-up der energiekritischen Wellengleichung in 5 Dimensionen unter kleinen Störungen im Energieraum asymptotisch stabil ist. Dieser Teil wird zur Veröffentlichung eingereicht. Genauer gesagt, wir untersuchen die Stabilität des ODE Blow-ups der energiekritischen Wellengleichung in dem Energieraum des Lichtkegels. Das ist der optimale Sobolev-Raum für Well-posedness. Wir führen ein selbstähnliches Koordinatensystem ein, damit wir mit dem zeitabhängigen Potenzial arbeiten können. Die lineare Evolution wird mittels Halbgruppentheorie untersucht. Weil der Energieraum der skaleninvariante Sobolev-Raum ist, hat die Halbgruppe keinen Abfall. Stattdessen konstruieren wir einen expliziten Ausdruck mittels Volterra-Iterationen. Mithilfe dieser expliziten Darstellung können wir Strichartz-Abschätzungen und eine verbesserte Energieabschätzung erreichen. Dann wenden wir uns dem nichtlinearen Problem zu und beweisen unser Resultat unter Zuhilfenahme des Banachschen Fixpunktsatzes.
Abstract (eng)
The blowup behaviour of nonlinear partial differential equations is a well-known topic in mathematical research. This means that smooth compactly supported initial data can lead to a breakdown of the solution because of the nonlinear effect. In this thesis, we are concerned with the blowup behaviour of wave equations of power nonlinearity. This thesis consists of two parts. The first part is an introduction. We give an overview of the study of wave equations with power nonlinearity, including basic tools and methods. We also present some known results. The second part is an original result. We have shown that, in 5 dimensions, the ODE blowup of the energy critical wave equation is asymptotically stable under small perturbation in the energy space. This work was submitted for publication. More precisely, we investigate the stability of the ODE blowup in the lightcone for the energy critical wave equation in the energy space, which is the optimal space for well-posedness. In order to work with the time-dependent potential, we introduce similarity coordinates. The linear evolution is then studied using semigroup theory. However, because the energy space is the scale invariant Sobolev space for this equation, no decay of the semigroup can be obtained. Instead, we construct the representation of the semigroup explicitly using Volterra iterations. With this explicit representation, we then use oscillatory integral techniques to establish Strichartz estimates and improved energy bounds. With these bounds, we turn to the nonlinear problem proved the stated result via a fixed point argument.
Keywords (eng)
wave equationstabilityblowup
Keywords (deu)
WellengleichungStabilitätBlowup
Subject (deu)
Partielle Differentialgleichungen
Type (deu)
Dissertation
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1357223
DOI
10.25365/thesis.59601
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-22400.07677.601360-0
URI
https://utheses.univie.ac.at/detail/52644
Extent (deu)
x, 100 Seiten
Number of pages
709
Study plan
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
[UA]
[796]
[605]
[405]
Association (deu)
Fakultät für Mathematik
Members (1)
Title (eng)
Optimal blowup stability for the energy critical wave equation
Parallel title (deu)
Optimale Blowup-Stabilität für die energiekritische Wellengleichung
Author
Ziping Rao
Abstract (deu)
Das Blow-up Verhalten nichtlinearer partieller Differentialgleichungen ist ein bekanntes Thema in mathematischer Forschung. Das bedeutet, glatte Anfangswerte mit kompaktem Träger führen zu einer Singularität einer Lösung wegen nichtlinearer Effekte. In dieser Doktorarbeit beschäftigen wir uns mit dem Blow-up von Wellengleichungen mit Potenznichtlinearität. Diese Doktorarbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil ist die Einführung. Wir geben einen Überblick über das Studium nichtlinearer Wellengleichungen, einschließlich grundlegender Werkzeuge und Methoden. Wir präsentieren auch einige bekannte Ergebnisse. Im zweiten Teil stellen wir unser Ergebnis vor. Wir beweisen, dass der ODE Blow-up der energiekritischen Wellengleichung in 5 Dimensionen unter kleinen Störungen im Energieraum asymptotisch stabil ist. Dieser Teil wird zur Veröffentlichung eingereicht. Genauer gesagt, wir untersuchen die Stabilität des ODE Blow-ups der energiekritischen Wellengleichung in dem Energieraum des Lichtkegels. Das ist der optimale Sobolev-Raum für Well-posedness. Wir führen ein selbstähnliches Koordinatensystem ein, damit wir mit dem zeitabhängigen Potenzial arbeiten können. Die lineare Evolution wird mittels Halbgruppentheorie untersucht. Weil der Energieraum der skaleninvariante Sobolev-Raum ist, hat die Halbgruppe keinen Abfall. Stattdessen konstruieren wir einen expliziten Ausdruck mittels Volterra-Iterationen. Mithilfe dieser expliziten Darstellung können wir Strichartz-Abschätzungen und eine verbesserte Energieabschätzung erreichen. Dann wenden wir uns dem nichtlinearen Problem zu und beweisen unser Resultat unter Zuhilfenahme des Banachschen Fixpunktsatzes.
Abstract (eng)
The blowup behaviour of nonlinear partial differential equations is a well-known topic in mathematical research. This means that smooth compactly supported initial data can lead to a breakdown of the solution because of the nonlinear effect. In this thesis, we are concerned with the blowup behaviour of wave equations of power nonlinearity. This thesis consists of two parts. The first part is an introduction. We give an overview of the study of wave equations with power nonlinearity, including basic tools and methods. We also present some known results. The second part is an original result. We have shown that, in 5 dimensions, the ODE blowup of the energy critical wave equation is asymptotically stable under small perturbation in the energy space. This work was submitted for publication. More precisely, we investigate the stability of the ODE blowup in the lightcone for the energy critical wave equation in the energy space, which is the optimal space for well-posedness. In order to work with the time-dependent potential, we introduce similarity coordinates. The linear evolution is then studied using semigroup theory. However, because the energy space is the scale invariant Sobolev space for this equation, no decay of the semigroup can be obtained. Instead, we construct the representation of the semigroup explicitly using Volterra iterations. With this explicit representation, we then use oscillatory integral techniques to establish Strichartz estimates and improved energy bounds. With these bounds, we turn to the nonlinear problem proved the stated result via a fixed point argument.
Keywords (eng)
wave equationstabilityblowup
Keywords (deu)
WellengleichungStabilitätBlowup
Subject (deu)
Partielle Differentialgleichungen
Type (deu)
Dissertation
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1357224
Number of pages
709
Association (deu)
Fakultät für Mathematik
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