Die Frage, ob alle hyperbolischen Gruppen residuell endlich sind, ist offen, seit- dem sie von Mikael Gromov in 1987 in [14] gestellt wurde, obwohl ihr schon viel Aufmerksamkeit gewidmet wurde. Vertraut man Daniel Wise’s Expertise in [50], erwarten die meisten Forscherinnen und Forscher dieses Fachgebietes eine negative Antwort. Darum ist die Suche nach einem Gegenbeispiel im Gange. Ein Kandidat für eine nicht residuell endliche, aber hyperbolische Gruppe ist die Heineken-Gruppe. Um sie zu erforschen müssen wir zuerst die beiden fundamentalen Eigenschaften der Hyperbolie und der residuellen Endlichkeit verstehen und equivalente Def- initionen und Beispiele untersuchen. Außerdem ist die Hopf-Eigenschaft von Gruppen eng mit residueller Endlichkeit verbunden, da jede endlich erzeugte, residuell endliche Gruppe Hopf ist. Hilfsmittel um festzustellen, ob eine endlich erzeugte Gruppe residuell endlich ist, werden benötigt: Das erste sind die Tietze-Transformationen, deren Nutzen anhand von einigen Beispielen illustriert wird. Darauf folgt das klassische Re- sultat von Malcev, das bestätigt, dass alle endlich erzeugten, linearen Gruppen residuell endlich sind. Als drittes Hilfsmittel dient die Bass-Serre-Theorie, in der es um Gruppen geht, die auf Bäume wirken. Wir erarbeiten ihr fundamentales Resultat, den Struktursatz. Das dritte Kapitel widmet sich anhand von wohlbekannten Beispielen den An- wendungen und dem Nutzen dieser Hilfsmittel. Unterschiedliche Argumente, die beweisen, dass freie Gruppen residuell endlich sind, werden vorgestellt. Die Familie der Baumslag-Solitar-Gruppen BS(m, n) für das Paar von ganzen Zahlen (m, n) wird untersucht. Nicht nur alle Bedingungen an m und n, die BS(m, n) zu einer (nicht) residuell endlichen und/oder (nicht) Hopfschen Gruppe machen, werden ausgearbeitet, sondern auch das Isomorphismus-Problem wird gelöst. Abschließend werden Gruppen wie die berühmte Higman-Gruppe vorgestellt, die aufgrund des Fehlens von endlichen Quotienten nicht residuell endlich sind. Damit ist die Basis geschaffen, um den Fokus auf die Heineken-Gruppe zu legen. Um zu zeigen, dass sie ein valider Kandidat ist, müssen wir uns versichern, dass sie nicht endlich (und damit trivialerweise residuell endlich) und hyper- bolisch ist. Dafür ist das Konzept von automatischen Gruppen essentiell. Der Algorithmus, um eine shortlex-automatische Gruppe zu finden, wird erklärt. Nach dem Versuch mit den entwickelten Hilfsmitteln zu prüfen, ob die Heineken- Gruppe residuell endlich ist, versuchen wir einen ersten Schritt in Richtung einer Antwort zu machen, indem wir uns auf die Suche nach endlichen Quotienten fokussieren. Auch hier ist computerunterstützte Gruppentheorie von Bedeutung: Nebenklassen-Numerierung und die Niedrige-Index-Methode werden erklärt und weitere Forschungsansätze vorgeschlagen.

The question whether all hyperbolic groups are residually finite has remained open since Mikael Gromov posed it in 1987 in [14], although it has received a lot of attention. Trusting Daniel Wise’s expertise in [50], most workers in the field expect a negative answer. Thus the search for a counterexample is in progress. One candidate for a non-residually finite, but hyperbolic group is the Heineken group. In order to study it, we first need to understand the two fundamental properties of hyperbolicity and resiudal finiteness and explore equivalent definitions and (non-)examples. Furthermore the Hopf-property of groups is closely connected, as every finitely generated residually finite group is Hopfian. A toolkit for determining whether a finitely generated group is residually finite is needed: It contains the concept of Tietze transformations, whose value is illustrated with a handful of examples. Then the classical result of Malcev affirms the residual finiteness of finitely generated linear groups. As the third tool serves Bass-Serre theory, which studies groups acting on trees. We work towards its fundamental result, the Structure Theorem. The third Chapter is dedicated to the application and benefit of these tools by means of well-studied examples. Different arguments proving that free groups are residually finite are explored. The family of Baumslag-Solitar groups BS(m, n) for the integer pair (m, n) is studied. We do not only work through the conditions on m and n that make BS(m, n) a (non-)residually finite and/or (non-)Hopfian group, but also the Isomorphism Problem is tackled. Lastly, examples of groups that are non-residually finite by absence of finite quotients such as the famous Higman group are introduced. This builds the foundation for focusing on the Heineken group. For it to be a valid candidate, we need to make sure that it is not finite (and thus trivially residually finite) and that it is hyperbolic. In order to do so the concept of automatic groups is crucial. The algorithm to find a shortlex automatic structure is explained. After trying to check the Heineken group for residual finiteness with the tools at hand, we try to make a first step towards finding an answer by focusing on finding finite quotients. Again, computational group theory is of use: The Coset Enumeration and the Low Index Method are explained. Further investigations with computational methods are suggested.