Algebraische Potenzreihen sind formale Potenzreihen f(x), für die ein nicht triviales
Polynom P(x, t) existiert, sodass P(x, f(x)) = 0 gilt. Diese Reihen spielen fürwahr
eine solide Rolle in unterschiedlichen Gebieten der Mathematik und finden ihre größte
Bedeutung und ihr Studium in der algebraischen Geometrie und der Kombinatorik.
In den letzten Jahrzehnten wurden ständig neue faszinierende Eigenschaften des
Ringes der algebraischen Potenzreihen Kx gefunden, bewiesen und vermutet. Um
diese expliziten Akteure in Griff zu bekommen, wird teilweise auf sehr tiefliegende
Techniken der Algebra zurückgegriffen. Die Kunst besteht sodann nicht nur in der
gezielten Anwendung schwieriger Theorie, sondern auch in der Fähigkeit, zurück an
die Oberfläche des Handfesten und Expliziten zu kommen. Diese Arbeit bietet zuerst
eine konkrete Einführung in den Ring der algebraischen Potenzreihen als Oberring
der Polynome und Unterring der formalen Potenzreihen, dann wird jedoch eine ganz
andere Sichtweise auf den Protagonisten offenbart: Algebraische Potenzreihen können
nämlich auch als die Henselisierung der Lokalisierung des Polynomringes betrachtet
werden. Nachdem wir die Henselisierung auch als einen direkten Limes von
bestimmten Ringerweiterungen ansehen können, liefert uns das eine neue Konstruktion
für Kx. Schließlich wollen wir diese Konstruktion benutzen, um einerseits den
berühmten Beweis von Denef und Lipshitz über die Darstellung von algebraischen
Potenzreihen als Diagonalen von rationalen Reihen zu erklären, und andererseits ein
neues Korollar vorstellen.

An algebraic power series is a formal power series f(x) for which a non-zero polynomial
P(x, t) exists, such that P(x, f(x)) = 0 holds. These elements play a significant
role in various fields of mathematics and are applied and studied in algebraic geometry
and combinatorics. In recent decades, many new fascinating properties of this
ring of algebraic power series have been found, proven and conjectured. Very deep
algebraic techniques are often used to tackle these explicit functions and outstanding
aptitude is required not only for the specialized implementations of difficult theorems,
but also for ability to go back to the concrete and particular. In the beginning,
this thesis provides an explicit introduction to the ring of algebraic power series Kx
as an extension of the polynomials and a subring of formal power series. Thereafter
a completely different view is revealed to the protagonist: algebraic power series can
be viewed as the Henselization of the localization of the polynomial ring. The assembly
of the Henselization as a direct limit of so-called pointed étale extensions then
yields a new construction of Kx. We will use this known construction to explain
the famous proof of Denef and Lipshitz regarding the presentation of algebraic power
series as diagonals of rational series on the one hand and introduce a new theorem
on the other.