An entropic regularity approach to the Caffarelli's contraction theorem

Petros Boufounos

doi:10.25365/thesis.62933

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Title (eng)

An entropic regularity approach to the Caffarelli's contraction theorem

Parallel title (deu)

Der Kontraktionssatz von Caffarelli via entropischer Regularität

Author

Petros Boufounos

Advisor

Mathias Beiglboeck

Assessor

Mathias Beiglboeck

Abstract (deu)

In dieser Arbeit präsentieren wir einen alternativen Beweis des Kontraktionssatzes von Caffarelli, welcher besagt, dass die Brenier-Abbildung zwischen einer Standardnormalverteilung und einem logarithmisch konkaven Wahrscheinlichkeitsmaß Lipschitz-stetig mit Konstante 1 ist. Der ursprüngliche Beweis von Caffarelli ist nicht direkt mit optimalem Transport verknüpft, sondern basiert auf der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Tatsache, dass die Brenier-Abbildung einer Lösung der Monge-Ampèreschen Gleichung entspricht. Der Beweis dieser Arbeit folgt hauptsächlich der Forschungsarbeit von Fathi, Gozlan und Prodhomme [14]. Diese Autoren benutzen eine neue Charakterisierung von Lipschitz-stetigen Transport-Abbildungen nach Gozlan und Juillet, sowie eine Konvexitätseigenschaft der Optimierer des Minimierungsproblems, welches durch die entropischen Transportkosten gegeben ist.

Abstract (eng)

The purpose of this thesis is to give a different proof of the Caffarelli contraction theorem, which states that the Brenier map pushing forward the Standard Gaussian measure onto a logarithmically concave probability measure is Lipschitz with constant 1. Caffarelli's original proof was mostly based on PDE theory and the fact that Brenier maps appear as solutions to a Monge-Ampere equation and was not directed towards optimal transport theory. In the current proof we mainly follow the research work of Fathi, Gozlan and Prodhomme [14] who exploited a recent characterization of Lipschitz transport map given by Gozlan and Juillet together with a convexity property of optimizers in the entropic transport cost minimization problem.

Keywords (eng)

Optimal transportCaffarelli's contraction theoremProbability theoryEntropic regularity

Keywords (deu)

Optimal TransportKontraktionssatz von CaffarelliEntropische RegularitatWahrscheinlichkeitstheorie

Subject (deu)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Type (deu)

Masterarbeit

Persistent identifier

https://phaidra.univie.ac.at/o:1366380

DOI

10.25365/thesis.62933